souris scorpions serpents [Résolu]

nikita · 08-04-2008 20:37:55

coucou a tous alor voilas ( c'est un DM meme si ca a des allures de devinette ) rire : dans un desert , il y a des serpents , des souris et des scorpions .chaque matin , chaque serpent mange une souris .
chaque midi , chaque scorpion pique (tue) un serpent . chaque soir , chaque souris mange un scorpion .
au bout d'une semaine , il ne reste qu'un animal : une souris
combien y avait il de souris au debut ?

aidez moi , j'en peu plus , jai tro penser a ca je n'y comprend pus rien !!

Dernière modification par nikita (08-04-2008 20:51:26)

nikita · 08-04-2008 21:23:20

personne n'y arrive !! mai j'en fais quoi moi de mes souris , mes serpents et mes scorpions !!!

tibo · 08-04-2008 21:33:48

Bonsoir,

La première solution qui me vient a l'esprit est de remonter le temps, certe très fastidieux il doit surement y avoir une meilleure méthode:

On part de la dernière souris.
Le soir du 7ème jour, elle a mangé un scorpion. Donc juste avant il y avait un scorpion vivant.
Ce dernier tué un serpent le midi.
Et ce serpent avait mangé une souris le matin.

Donc le soir du 6ème jour, il y avait 2 souris, un scorpion et un serpent.
Les 2 souris ont mangé 2 scorpion le soir, donc avant il y avais 3 scorpions
qui ont tué 3 serpents à midi.
Donc le matin, il y avait 4 serpents qui ont mangé 4 souris.

Donc le soir du 5ème jour, il y avait 6 souris, 3 scorpions et 4 serpents

Et ainsi de suite
C'est fastidieux, non?

Je vais chercher autre choses parce que ça me parait bizare pour un DM

nikita · 08-04-2008 21:42:50

ca parrait tres simple , mai tres inteligente comme solution !!!
mais il est fort possible que tu est raison ( j'ai des amis qui sont arrivé a 49 souris !!! )

tibo · 08-04-2008 22:12:19

Je pense qu'ils ont faux.

Moi, je trouve 1873 souris, 872 scorpions et 1278 serpents au matin du premier jour.
Je peux m'être trompé, mais...

nikita · 08-04-2008 22:24:37

a ouai , a ce point la !!! bon , je vai refaire tou le calcule , tranquillement demain apres midi ( quan j'aurrai un peu plus les yeux en face des trous !! et je re dis ca demain soir !!)
en tout cas , tu m'a bien avancer , jamais je n'aurrais pansé le "prendre" a l'envers , j'etais partis dans des x<2x .... enfin le plantage totale quoi !! merci

tibo · 08-04-2008 22:30:35

il doit surement y avoir une meilleur méthode
.Celle la est beaucoup trop fastidieuse

nikita · 08-04-2008 22:35:18

oui , peut-etre !! je me renseignerais demain !! bon je vais me coucher , je tien plus sur ma chaise , peut-etre a demain !! merci beaucoup de ton aide !!!!!!!!!!! MERCI

john · 10-04-2008 12:01:46

Salut,
J'imagine que ce pb. n'est pas posé en sup. mais à ce niveau, il faudrait :
- exprimer la matrice de transition du jour n+1 au jour n ;
- diagonaliser cette matrice et élever la matrice diag. à la puissance 7 ;
- exprimer les matrices de changement de base...
A+

nikita · 10-04-2008 20:16:41

euh merci , mai , desoler, mai je suis en 2nd et la tu me parle en chinois !!! rire

tibo · 10-04-2008 21:16:33

Bonsoir,

au fait c'est dans quel chapitre ton problème?

John, peut-tu détailler ta méthode avec les matrice?

Sinon j'ai pensé qu'on pouvait utiliser les suites:
Un, nombre de souris
Vn, nombre scorpion
Wn, nombre de serpent
On a
Un+1 = Un - Wn
Wn+1 = Wn - Vn
Vn+1 = Vn - Un+1
Sachant que U7 = 1, V7 = 0, W7 = 0
Trouver U0

J'ai pas essayé mais ça doit donner un bon résultat

john · 10-04-2008 23:07:40

Bonsoir,
C'est effectivement un problème de suites mais qu'il faut écrire en sens inverse, c-à-d en partant du vecteur U0 = (0, 1 ,0).
Le vecteur U(n) a pour composantes les nombres de serpents, souris et scorpions en soirée.
La matrice A qui relie U(n+1) à U(n) s'écrit ligne 1 (1, 1, 1), ligne 2 (1, 2, 1) et ligne 3 (0, 1, 1).
C'est simplement l'écriture matricielle du système linéaire que tibo vient d'écrire mais mis sous la forme (Un, Vn, Wn) = f(Un+1, Vn+1, Wn+1)
On a :
U1 = A.U0
U2 = A.U1
...
U7 = A.U6
En effectuant ces 7 produits successivement, on obtient :
U1 = (1, 2, 1)
U2 = (4, 6, 3)
U3 = (13, 19, 9)
U4 = (41, 60, 28)
U5 = (129, 189, 88)
U6 = (406,595, 277)
U7 = (1278, 1873, 872)
Sauf erreur de calcul, il y a donc 1873 souris à l'aube du premier jour et une seule survivante au soir du 7ème jour.
A+

tibo · 11-04-2008 20:16:58

Bonsoir,

ça me parait un peu au dessus du niveau seconde, mais je ne vois pas d'autre méthode
Et tu obtiens les mêmes résultats que moi dnc je pense qu'il n'y a pas d'erreur

john · 12-04-2008 09:55:24

Salut,
Effectivement mêmes résultats => très probablement pas d'erreur de calcul.
Concernant la diagonalisation, ça n'a aucun intérêt ici (pour n=7) ; désolé, je n'avais pas fait les calculs avant #12.
En revanche si la question avait été posée pour n = 70, la diagonalisation aurait été la bonne méthode.
A+

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