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#1 02-01-2022 10:33:42

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

DM fonction reciproque

Bonjour et bonne année 2022 !

Pouvez vous me guidé pour répondre à une question d'un DM.
Dans un repère il y a deux points M(x;y) et M'(y;x) et la droite y=x. Démontrer que les points M et M' sont symétriques par rapport à la droite.
J'ai une idée mais je trouve ça long, prouver que les droites sont perpendiculaires avec les vecteurs et ensuite montrer que les distances des points M et M' à la droite sont les mêmes... Est ce qu'il faut faire cela où il y a plus simple ? Merci beaucoup !!

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#2 02-01-2022 11:22:55

Paco del Rey
Invité

Re : DM fonction reciproque

Bonjour Mouss et bonne année.

Le problème est que les points M et M' ne sont symétriques -- dans le sens de symétrie orthogonale, mais sinon ça n'a pas de sens -- par rapport à la droite que dans le cas où le repère est orthogonal.

Une idée dans ce cas : si $M \neq M'$:
1/ démontrer le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ dirige la deuxième bissectrice du repère (y = -x). 
2/ démontrer que le milieu de $[MM']$  appartient à la droite (y=x).

Paco.

#3 02-01-2022 11:54:08

Bernard-maths
Membre
Lieu : 34790 Grabels
Inscription : 18-12-2020
Messages : 1 316

Re : DM fonction reciproque

Bonjour et Bonne Année !

Voilà des précisions auxquelles je pensais .. merci Paco ! DONC, à suivre !

Pour Mouss et sa culture matheuse ... Dans un repère orthonormé, échanger les coordonnées x et y d'un point, entraine la symétrisation par rapport à la 1ère bissectrice, d'équation y=x !

Si en plus de l'échange, on fait un changement de signe sur une seule des 2 coordonnées, on a une symétrisation par rapport à la 2ème bissectrice, d'équation y=-x !

Allez, encore un peu : si on change le signe de y, on a une symétrie par rapport à l'axe (x'x), et si on change le signe de x, c'est une symétrie par apport à l'axe (y'y). C'est encore vrai pour un repère orthogonal, mais pas forcément normé !

Et si on fait les 2 changements des 2 signes, c'est une symétrie par rapport à l'origine du repère !
Remarquons que cette dernière symétrie n'est plus tributaire de la nature du repère, qui peut être quelconque .

Voilà quelques résultats que j'aime bien utiliser en géométrie.

@ plus, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (02-01-2022 11:55:17)


Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !

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#4 02-01-2022 12:11:45

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : DM fonction reciproque

Salut,

Tous mes vœux également.
Plus court, ce sera dur et plus simple également...
On peut alléger, "simplifier" un peu les pseudo-calculs :

montrer que les distances des points M et M' à la droite sont les mêmes.

par : Montrer que B milieu de [MM'] appartient à la droite (d) d'équation $y=x$ (droite qui est la "Première bissectrice des axes").

Bon je n'aime pas que les coordonnées soit nommées $x$ et $y$ et travailler avec la droite d'équation $y = x$ : affaire de goût et tu n'y peux rien, mais je trouve qu'il y a un risque potentiel de confusion. Je note donc M(a ; b) et M'(b ; a)  avec ($a\neq b$).
Si $a=b$, c'est évident et l'exercice n'a plus lieu d'être.

Une idée, sans vecteurs, juste niveau 4e/3e...
Placer A(a ; a)
Préciser la position de A
Placer I milieu de [MM'].
Ecrire les coordonnées de I. En déduire que I est aussi sur (d)
Nature du tr MAM' ?
Nature de [AI] ?
En déduire que (AI) est médiatrice de [MM'] et donc que M et M'sont symétriques par rapport à (d).

Je vois donc ça comme ça, mais ce n'est pas plus court

.
Je place A(a ; a). A est sur la droite (d)
Le milieu I de [MM'] a pour coordonnées $I\left(\frac {a+b}{2}\,;\,\frac {a+b}{2}\right)$
I est sur la droite (d). # Ca m'évite de montrer au début que M et M' sont de part et d'autre de (d)
AM=AM'=|a-b|.
Le triangle MAM' est isocèle en A.
[AI) est la médiane relative à la base [MM'] du triangle isocèle, elle en est donc aussi sa médiatrice.
(N-B : Théorème de 4e)
Et donc par définition M et M' sont symétriques par rapport à (AI)...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 02-01-2022 14:58:17

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : DM fonction reciproque

Bonjour,
compliqué de faire plus court. Dans le même ordre d'idée, remplacer le 1) de Paco par : $O$ étant l'origine du repère . démontrer que $OM=OM'$

Dernière modification par Zebulor (02-01-2022 15:01:48)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#6 03-01-2022 11:40:24

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

Re : DM fonction reciproque

Merci pour vos conseils et indications :)

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#7 04-01-2022 15:13:29

Mouss
Membre
Inscription : 23-04-2020
Messages : 105

Re : DM fonction reciproque

Bonjour,
Encore une question mais de proba.
Est ce que c'est normal lorsque l'on utilise la formule des proba totales quand on a des épreuves indépendantes
D'obtenir la proba de l'événement ?

Par exemple à la première épreuve j'ai 3 possibilités A, B,  C et pareille à la deuxième épreuve.
Si je cherche la probabilité d'avoir A au deuxième tirage et que j'utilise les proba totale, j'ai :
P(A)=P(AnA)+P(AnB)+P(AnC) et quand je calcule je tombe sur P(A) de la première épreuve.

Est ce que la formule des proba totales est utile du coup quand les épreuves sont indépendantes ?

Merci

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#8 04-01-2022 16:52:34

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : DM fonction reciproque

Salut Mouss,
dans ce cas crée une autre discussion peut être pour une meilleure lisibilité, quitte à faire un copier coller


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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