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Tybalt

Invité

Enigme FSJM

Bonjour,

Je m'intéresse à l'énigme 18 donnée ici : https://www.fsjm.ch/static/archives/36_ … stions.pdf.
J'ai la solution mais je cherche à savoir s'il est possible de l'obtenir sans aucun outil de informatique ou de calcul.

Un peu de géométrie élémentaire donne facilement $\displaystyle\frac{R}{r}=\dfrac{1-\sin^2\left(\pi/7\right)}{\sin^2\left(\pi/7\right)}$.
La suite du problème revient à trouver pour quel entier $r$ entre 100 et 200 la valeur correspondante de $R$ est proche au millième près d'un entier. Avec un tableur, ça prend quelques secondes, avec une calculatrice, quelques minutes, à la main ça semble complètement infaisable.

D'où ma question : il y a-t-il une astuce qui m'échappe ou que je ne connais pas pour résoudre ce type de problèmes ?Soit: trouver des fractions à petit dénominateurs qui approchent une valeur donnée. Ici on pourrait chercher à approximer l'approximation de R/r donnée par la valeur de $\sin(\pi/7)$ donnée dans le problème :  $$\frac Rr\approx\dfrac{566116}{433884}=\dfrac{141529}{108471}$$ ?

Merci :)

Tybalt

Invité

Re : Enigme FSJM

J'ai écrit ça hier soir fatigué et des carrés se sont ajoutés dans ma formule pour une raison obscure connue uniquement des plus sombres recoins de mon inconscient...
Évidemment la formule correcte est
\[\frac Rr=\frac{1-\sin(\pi/7)}{\sin(\pi/7)}\]

T.

Thibault

Membre

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Re : Enigme FSJM

Et j'ai retrouvé mon nom d'utilisateur d'il y a 10 ans ! :D

Bernard-maths

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Re : Enigme FSJM

Bonjour à tous !

Alors, tu es qui ? Tybald ? Thibault? ou D ? A mettre en cryptomachinlogie ???

A part ça, je calcule R / r ≈ 566116 / 433884 = 141529 / 108471 ≈ 1,30476348...

Puisque r et R sont entre 100 et 200, si r = 100, R min = 131 ... et si R = 200, r max = 153 ... ce qui limite les variations de r !

Même si le boulot est divisé par 2, ça prend encore du temps ! Alors ? Cogitare !

Bernard-maths

Wiwaxia

Membre

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Re : Enigme FSJM

Bonjour,

Il suffit d'énumérer tous les écarts D =  Abs(R - Round(R)) pour (r) variant entre 100 et 153, et de repérer le plus petit d'entre eux.

On trouve: 

▼Texte caché

r = 105 ; R = 137.0003115 ; Dmin = 3.1145E-4  (résultat obtenu avec la valeur de sin(π/7) calculée avec la précision maximale de la calculatrice: 14 chiffres)
On pourra prendre 0,433884 pour sin(pi/7)
la précision de la valeur donnée est très insuffisante; on trouve alors: r = 105 ; R = 137.0001659 ; Dmin = 1.6594E-4
soit pour le dernier résultat une erreur approchant 50 % !

Cela revient à prendre pour le sinus l'approximation rationnelle sin(π/7) ~ r/(r + R) = 105/242 = 0.4338842975   
alors que la valeur approchée sur 10 décimales est: sin(π/7) = 0.4338837391 .
L'énoncé aurait dû fournir plus de décimales.

Dernière modification par Wiwaxia (02-01-2022 08:59:01)

Thibault

Membre

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Messages : 40

Re : Enigme FSJM

Hello !

Puisque r et R sont entre 100 et 200, si r = 100, R min = 131 ... et si R = 200, r max = 153 ... ce qui limite les variations de r !

Bien vu effectivement ça réduit le travail mais il faut quand même une autre idée.

Il suffit d'énumérer tous les écarts D =  Abs(R - Round(R)) pour (r) variant entre 100 et 153, et de repérer le plus petit d'entre eux.

Effectivement ton résultat est correct mais ma question était justement de savoir comment résoudre ce problème uniquement à la main et avec une feuille de papier. Ce sont les conditions du concours duquel est tiré le problème.
Pour l'erreur avec l'approximation qui est donnée : elle n'a aucune importance puisque elle est suffisante pour que l'énoncé ait les solutions exactes (les valeurs de $R$ proches au millième près d'un entier). Et franchement... une erreur relative de 50% sur... une erreur relative inférieure à 0,1%, c'est pas la mer à boire :D

De mon côté un collègue a eu d'excellentes idées pour résoudre ça :

▼Texte caché

A l'aide de l'approximation $\frac Rr= \frac{566116}{433884}$ on peut calculer le développement en fraction continue $[1;3,3,1,1,3,1,\ldots]$. Les calculs sont relativement aisés puisque les entiers du développement ne sont que des 1 et des 3. Les réduites successives sont $\frac{4}{3}$, $\frac{13}{10}$, $\frac{17}{13}$, $\frac{30}{23}$, $\frac{107}{82}$ et finalement $\frac{137}{105}$ qui est un candidat parfait.

On vérifie que $\frac{105\cdot 566116}{433884}=137,000\ldots$ en effectuant la division euclidienne (c'est la seule à faire !).

On a trouvé une solution mais les conditions du concours sont claires : s'il y en a plusieurs il faut en donner le nombre et donner deux des valeurs possibles. Je propose deux solutions :

1) Si on maitrise hyper bien les fractions continues on a utilisé cet algorithme pour calculer les réduites successives et on sait que le meilleur approximant suivant sera au mieux $[1;3,3,1,1,3,1,1] =\frac{137+107}{105+82}=\frac{244}{187}$ qui sort des limites du problème. Okay, il pourrait y avoir un approximant légérement moins bon que $\frac{137}{105}$ de dénominateur plus grand que 105 mais ça semble improbable.

2) Sinon à la main : on sait que \[105\cdot\frac{1-\sin(\pi/7)}{\sin(\pi/7)}=137+\varepsilon_1\] avec $\varepsilon_1<0,001$. Sil existe $m$ et $n$ tel que  \[n\cdot\frac{1-\sin\pi/7)}{\sin(\pi/7)}=m+\varepsilon_2\] avec $\varepsilon_2<0,001$ et $100\le m,n\le 200$, alors on peut en déduire que
\[137n-105m=105\varepsilon_1-m\varepsilon_2\]
Mais le membre de droite est clairement inférieur à 1 vu les conditions sur $ m,n$ et $\varepsilon_1$. Ainsi il vaut zéro et on a $\dfrac{m}{n}=\dfrac{137}{105}$
Comme 105 et 137 sont premiers entre eux, la plus petite solution est $\dfrac{234}{210}$ qui sort des limites du problème.

Je trouve très intéressant de voir les fractions continues exploitées pour résoudre ce type de problème et c'est un très bon outil à maîtriser que je connaissais peu. Mon collègue à étudié les maths trente avant moi et je pense qu'à l'époque on échappait pas aux fractions continues mais ça a été mon cas durant toutes mes études. Je vais me pencher la dessus avant les demies-finales ^^

Amicalement,
Thibault

Dernière modification par Thibault (06-01-2022 00:11:22)