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alix

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triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Bonjour, je suis en 5e et j'ai un devoir à rendre pour lundi,                                   
voilà, je voulais savoir si un triangle non aplati pouvait avoir un centre de symétri.
j'atant vos réponces 
merci pour tout (ce site est génial!)

yoshi

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Bonjour Alix,

Et bienvenue sur BibM@th...
Bon, je ne vois pas comment ce serait possible...
Supposons que ce le soit... possible :
j'appelle ABC mon triangle et O le centre de Symétrie.
On donc :
A ---> B
B ---> C
C ---> A
Ce point O doit donc être au milieu de [AB], au milieu de [AC] et au milieu de [BC]...
Dans un triangle non aplati, les côtés [AB], [BC] et [AC] sont différents et donc leurs milieux aussi... IL faut donc donc 3 points et non un seul...
La réponse est donc bien : non ce n'est pas possible !

Satisfaite ?

@+

PS
La prochaine fois, ne poste pas deux fois le même message, s'il te plaît...

Barbichu

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Hello,
Alix, tu peux tenir pour vrai tout ce que Yoshi a dit, je suis sur le point de faire un excès de pointillosité. (désolé pour le barbarisme) Mais tu peux quand même lire si tu veux ;)

Yoshi, le résultat est juste, mais le raisonnement comporte une imprécision qui n'est pas très grave au fond car elle est basée sur l'intuition qu'il ne peut y avoir qu'une permutation possible des sommets, ce qui est (presque) vrai dans le cas d'un triangle non aplati.

Mais avec ce raisonnement, on pourrait conclure qu'il n'existe pas non plus de triangle aplati non réduit à un point possedant un centre de symétrie. (En effet, si O milieu de [AB] et [BC], on a [tex]\vec{AO}=\vec{OB}[/tex] et [tex]\vec{BO}=\vec{OC}[/tex] d'où [tex]\vec{AO}=\vec{CO}[/tex] donc A=C et O n'est pas milieu de [AC] sauf si A=B=C=O)

L'imprecision vient du fait que si s est une symétrie centrale de centre O stabilisant le triangle, s induit éventuellement n'importe quelle permutation p sur les sommets {A,B,C}. Et il faut faire une discussion suivant toutes les permutations possibles. On peut en fait se ramener, en disant qu'on peut se débrouiller pour renommer les sommets comme il faut (ou en utilisant un argument de théorie des groupes), aux trois permuations suivantes :
1/ id : pour tout x€{A,B,C} id(x)=x
2/ t : t(A) = A, t(B)=C et t(C)=B
3/ c : c(A)=B, c(B)=C et c(C)=A
Il faut alors faire une discussion dans ces 3 cas, de la même manière que yoshi à taité le cas numéro 3/. Et le cas numéro 2/ nous mène à la possibilité suivante pour un triangle aplati : ABC tel que A milieu de [BC] (on a alors O=A)

Je suis conscient d'avoir été un peu trop pointilleux, et surtout hors programme de 5e, mais je suis convaincu que c'est important de savoir si dans un raisonnement, l'intuition à jouée de manière inconsciente à un endroit.

++

Dernière modification par Barbichu (06-04-2008 13:50:00)

yoshi

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Bonjour,

Alors, je vais simplifier ce que je voulais dire...
Supposons qu'un tel centre de symétrie existe. Je l'appelle O.
Alors, les points A et B sont symétriques par rapport à O et les points A et C aussi (cela est vrai de toute paire de couple de sommets : il y en aura systématiquement un de commun).
Ceci posé, ce centre de symétrie doit être le milieu de [AB] mais aussi celui de [AC]. Or, dans tout triangle non aplati, ceci est impossible puisque ces deux milieux sont forcément distincts...

Dans le cas du triangle aplati, supposons que les sommets sont A, B et C dans cet ordre. Il ne peut y avoir un centre de symétrie que si B est le milieu de [AC].

Alors Barbichu, que vas-tu trouver à redire cette fois ? Dépêche-toi dans ce cas, parce qu'à mon corps défendant (au sens strict du terme), à partir de demain 16 h 30, je ne pourrai plus approcher internet pour une durée probable d'une huitaine de jours...

@+

Barbichu

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Re, sauf si j'ai mal compris, j'ai toujours une objection :
les points A et B ne sont pas forcement symétriques par rapport à O dans le cas d'un triangle arbitraire.
Contre-exemple : on prend le triangle aplati ABC tel que A milieu de [BC]. ça ne marche pas : A et B ne sont absolument pas symétriques par rapport à O. Donc cela n'est pas vrai pour toute paire de couples de sommet.
... non ?
De toute façon il manque la preuve de l'affirmation ...
++

Dernière modification par Barbichu (06-04-2008 14:11:01)

yoshi

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Lut'

J'ai traité le cas triangle non aplati... Qu'appelles-tu triangle "arbitraire" ? Si tu chipotes là-dessus, alors je ne comprends pas "
Pour le triangle aplati, j'ai simplement écrit : "Dans le cas du triangle aplati, supposons que les sommets sont A, B et C dans cet ordre. Il ne peut y avoir un centre de symétrie que si B est le milieu de [AC]."
C'est de cette affirmation-là dont tu demandes la justification ? Là, t'es mesquin...

J'ai traité le cas triangle non aplati... Qu'appelles-tu triangle "arbitraire" ? Si tu chipotes là-dessus, alors je ne comprends pas "les points A et B ne sont pas forcement symétriques par rapport à O dans le cas d'un triangle arbitraire.". C'est quoi ce O pour toi ?
Et voilà une affirmation qui demande à être étayée... Arf ! Arf...

@+

Barbichu

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Re,
Non, c'est sur affirmation là que je "chippote":

Alors, les points A et B sont symétriques par rapport à O et les points A et C aussi (cela est vrai de toute paire de couple de sommets : il y en aura systématiquement un de commun).

Et je dis que, (O étant toujours le centre de symétrie de la symétrie considérée,) l'affirmation su-citée est incorrecte, et je donne le contre-exemple :

on prend le triangle aplati ABC tel que A milieu de [BC]. ça ne marche pas : A et B ne sont absolument pas symétriques par rapport à O.

++
PS :  et avant, je chippotais exactement sur la même chose, à savoir sur le

j'appelle ABC mon triangle et O le centre de Symétrie.
On donc :
A ---> B
B ---> C
C ---> A

Dernière modification par Barbichu (06-04-2008 15:29:29)

yoshi

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Re,

Et moi je parle de triangle non aplati.
Dans ce genre de triangle, on trouve bien trois paires de côtés consécutifs donc ayant un sommet en commun...
Je prends une paire quelconque de côtés consécutifs.
J'appelle O le milieu de l'un de ces côtés, ses extrémités sont donc symétriques par rapport à O.
J'appelle O', le milieu de l'autre côté, ses extrémités sont donc symétriques par rapport à O.
J'appelle O", le milieu du 3e côté, ses extrémités sont donc symétriques par rapport à O".
Pour que le triangle admette un centre de symétrie unique, il faut qu'il soit invariant dans la symétrie considérée et donc que O = O', ou O = o", ou O' = O", ou encore OO' = 0, OO" = 0 ou O'O" = 0, ce qui signfie (règle dite de la "droite des milieux") que le 3e côté doit avoir une longueur nulle et il n'y a plus alors qu'un seul segment au lieu de 3 et donc plus de triangle non aplati.

Ne viens pas me parler de triangle aplati...

@+

Barbichu

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Re : triangle non aplati [Résolu et plus encore...]

Re,
Je suis désolé que ça t'énerve de la sorte, je ne te dis pas que ce que tu dis est faux, parce qu'on peut effectivement le démontrer formellement.

Ce que je te dis c'est que dans tes 3 raisonnements, yoshi, il y a une affirmation qui est incorrecte telle qu'énoncée et qui mériterait explicitation si l'on voulait complètement éliminer le bon sens et l'intuition pour céder à une démonstration puremment formelle (ce que je fais dans ma première réponse en expliquant qu'il existe plusieurs permutations possibles des trois sommets, même si au final on montre qu'il n'y en a que peu qui correspondent à une symétrie centrale du triangle, mais ça ne donne pas de raison pour les oublier à priori).
Cette affirmation est systématiquement celle qui concerne l'effet de la symétrie sur les points, que tu décrètes comme connu (et je suis d'accord que ça semble tellement évident), mais dont je demande une démonstration pour être le plus formel possible.

J'espère que tu comprendras mon objection en essayant de résoudre l'exercice suivant : "Etant donné un triangle ABC, trouver et discuter suivant la nature de ce triangle toutes les isométries du plan stabilisant le triangle ABC"

++