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taib

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Solutions maximales de l'équation différentielle

Bonjour tout le monde, SVP, quelqu'un peut m'aider pour résoudre l'exercice ci-dessous 
Soit $F\::\: \mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^2$ une fonction de classe $C^1$, et $f,g \::\: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ deux solutions maximales de l'équation différentielle $y'=F(x,y)$. On suppose qu'il existe $x_0\in \mathbb{R}$ tel que $f(x_0)<g(x_0)$.Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a $f(x)<g(x)$.
Merci d'avance pour votre aide

Fred

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Re : Solutions maximales de l'équation différentielle

Bonjour,

  Voici des ingrédients pour faire la démonstration :
1) faire un raisonnement par l'absurde
2) utiliser que si deux solutions maximales coïncident en un point, alors elles sont égales partout.
3) utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour se ramener à 2) sachant 1).

F.

taib

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Re : Solutions maximales de l'équation différentielle

Merci Fred pour votre réponse, j'ai commencé la démonstration, s'il existe $x_1\in \mathbb{R}$ tel que $f(x_1)\geq g(x_1)$, mais j'arrive pas voire comment utiliser le théorème des valeurs intermédiaires dans mon raisonnement, sachant que $f$ et $g$ sont continues.
Merci encore une fois pour votre aide

Fred

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Re : Solutions maximales de l'équation différentielle

Tu peux appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $h=f-g$ entre $x_0$ et $x_1$.