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Serge18

Invité

Théorème de Weirstrass et séries entières

Bonjour,
Soit f une fonction développable en série entière. On considère que le rayon de convergence de la série est infini.
Est ce que finalement la série entière obtenue peut être vue comme limite d’une suite de polynômes, et donc constituer un exemple explicite d’une suite de polynômes convergeant uniformément vers f comme l’affirme le théorème d’approximation de Weirstrass ?
Merci.

Paco del Rey

Invité

Re : Théorème de Weirstrass et séries entières

Bonjour Serge.

Toute fonction entière, c'est-à-dire de rayon de convergence infini est bien entendu limite simple sur \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\) d'une suite de polynômes.

Cette convergence est uniforme sur tout compact.

En revanche elle n'est pas en général uniforme  sur \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\).

En effet une limite  uniforme  sur \(\mathbb R\) ou \(\mathbb C\) d'une suite de polynômes est un polynôme.

Paco.