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#1 14-12-2021 23:17:29
- Buu
- Membre
- Inscription : 18-08-2021
- Messages : 33
Inégalité polynômial
Bonjour,
Soit P un polynôme réel de degré n scindé.
Montrer que l’on a n*P’’*P=<(n-1)(P’)^2 pour tout x appartenant à R
J’ai essaye d’utiliser le fait que l’on connaît une expression de P’/P lorsque P est scindé et que
(P’/P)’ = ( P’’*P - (P’)^2)/(P^2) mais je n’arrive pas à conclure
Pouvez vous m’aider à conclure ?merci d’avance
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#2 15-12-2021 16:06:21
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 910
Re : Inégalité polynômial
Bonjour,
En tout point racine de P, comme un carré est positif l'inégalité est vraie.
Sinon tu peux dériver P'/P, cela fait apparaître au numérateur [tex]P''P - P'^2[/tex].
Il faut montrer [tex]n(PP'' - P'^2) \le -P'^2[/tex].
En utilisant l'expression simple en éléments simples à droite de l'égalité après ta dérivation précédente, tu verras qu'il suffit de montrer que :
[tex]P'^2 \le n\sum_i ( \frac {P}{X - \alpha_i})^2[/tex] ce qui revient à :
[tex]( \sum_i \prod_{j \ne i} (X - \alpha_j) )^2 \le n \sum_i \prod_{j \ne i} (X - \alpha_j)^2[/tex]
Cela est vrai car pour une famille de n réels [tex] (b_i )[/tex] quelconque on a toujours :
[tex]| \sum b_i | \le \sum |b_i| \le \sqrt{n} \sqrt{ \sum (b_i)^2 }[/tex].
C'est d'ailleurs une inégalité entre normes[tex] N_1[/tex] et [tex]N_2[/tex] parfois utile ( normes dans[tex] \mathbb{R}^n[/tex] ) .
CQFD
A.
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#4 20-12-2021 11:36:54
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 910
Re : Inégalité polynômial
Bonjour,
Relis bien ma preuve, je n'ai jamais supposé que [tex]\alpha_i \ne \alpha_j[/tex] si [tex] i \ne j[/tex].
Dans les expressions que je t'indique, on écris autant de racines qu 'il y en a pour leurs multiplicités, évidemment
Je ne suppose donc absolument pas que toutes les racines sont simples... il y a autant de termes (parfois égaux) au total que le degré du polynôme bien-sûr.
Dans les inégalité subséquentes à utiliser, on ne le suppose évidemment pas non plus ( par exemple un vecteur peut avoir plusieurs coordonnées égales, pourtant elles jouent des rôles différent par rapport à la base...), ça n'empêche pas d'utiliser des inégalités style Cauchy-Schwartz ou autres.
Le seul point important est de toutes les écrire, avec répétitions s'il y a lieu.
[nota bene] normalement si je peux te proposer de solutionner ton exo avec ce genre de preuve, en principe je sais quand-même ce que sont des polynômes scindés, à racines simples ou pas, le degré d'un polynôme et toutes autres notions élémentaires relatives aux polynômes :-).
D'ailleurs tu noteras que tout est formel et algébrique dans la démonstration, sans aucun piège , mais demandait un peu de méthode, et c'était normalement à ta portée.
Par exemple distinguer les cas racine ou pas avant de dériver est fondamental, voir ce qui est au final est à prouver ...
Comme je crois si ma mémoire est bonne que tu avais déjà posté une question intéressante relative aux polynômes, je te conseille de revoir de façon approfondie toutes les définitions, en rapport avec le corps de base.
Exemple : un polynôme dans un corps quelconque peut avoir toutes ses racines simples sans être scindé, peut être scindé sans avoir tous ses zéros simples etc.
Alain
Dernière modification par bridgslam (20-12-2021 12:01:26)
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