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Justin67

Invité

Exercice : Système de deux équations différentielles

Bonjour à tous,

Avant toute chose, sachez que cet exercice m'est donné dans le cadre de mon M2 Physique. Je me permets de poster ici car mon problème est de nature mathématique et non de nature physique.

J'ai un système de deux équations différentielles :

[tex]\dfrac{d^2 u_x}{dz^2} + \left(\dfrac{\omega^2}{V_A^2} - k^2 \right) u_x = -i \dfrac{kg}{V_A^2} u_z[/tex]

[tex]\dfrac{d^2 u_z}{dz^2} - \dfrac{1}{H} \dfrac{d u_z}{dz} + \dfrac{\omega^2}{c_s^2} u_z = ik \left(\dfrac{d u_x}{dz} - \dfrac{\gamma - 1}{\gamma H} u_x \right)[/tex]

Et je souhaite obtenir l'équation suivante à partir des deux dernières :

[tex] \left[\dfrac{\omega^2}{V_A^2} - k^2 + \left(\dfrac{\gamma - 1}{\gamma H} \right)^2 \right] \dfrac{d^4 u_z}{dz^4} = F \left(z, u_z, \dfrac{d u_z}{dz},  \dfrac{d^2 u_z}{dz^2}, \dfrac{d^3 u_z}{dz^3} \right)[/tex]

J'ai essayé deux méthodes :

(1) La première consiste à dériver deux fois la première équation puis à injecter [tex]u_x[/tex] grâce à la première équation. Comme [tex]u_x[/tex] dépend de [tex]\dfrac{d^2 u_x}{dz^2}[/tex], je me retrouve avec des [tex]\dfrac{d^5 u_x}{dz^5}[/tex], [tex]\dfrac{d^4 u_x}{dz^4}[/tex] ... et je ne m'en sors pas.

(2) La seconde méthode (qui semble plus fiable) consiste à dériver une première fois la deuxième équation pour faire apparaitre [tex]\dfrac{d^2 u_x}{dz^2}[/tex], à le remplacer grâce à la première équation puis redériver une seconde fois et refaire la même chose. Le souci est qu'il me reste des [tex]\dfrac{d u_x}{dx}[/tex] et des  [tex]u_x[/tex] sur les bras et je n'arrive pas à les faire disparaitre.

J'en appelle donc à vos instincs mathématiques pour m'aider. Je vous remercie d'avance pour vos réponses et je vous laisse avec des informations qui vous serons peut-être (sûrement) utiles :

[tex]\dfrac{c_s}{V_A} \rightarrow 0[/tex]

[tex]\vec{u}(x,z,t) = \vec{u}(z) e^{i(\omega t - kx)}[/tex]

[tex]V_A (z) = \dfrac{B_0}{\sqrt{\mu_0 \rho(z)}}[/tex]

[tex]\rho(z) = \rho_0 e^{- \dfrac{z}{H}}[/tex]

[tex]H =\dfrac{c_s^2}{\gamma g}[/tex]