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DELAVY

Invité

DM suite: Algorithme de Babylone

Bonjour,
J'ai un dm pour vendredi sur les suites et je reste bloqué a certaines question
Voici le sujet:

Je vous montre ma démarche:

Q1: sachant que tous les rectangle Rn ont la même aire, que Ln est la longueur du rectangle et que ln est la largeur.
L'aire d'un rectangle est L*l, Pour R0= L0*l0
Donc Rn= Ln*ln= L0*l0= 5*1=5
Pour tout entier naturel n, Ln*ln=5

Q2 Je sais que Ln+1 est la moyenne des dimensions du rectangle Rn
J'ai rappelé la formule de la moyenne soit Somme des valeurs/ effectif total donc Ln+1= Ln+ln/2
Cependant je n'arrive pas à justifier que ln+1 soit égale à 10/Ln+ln

Q3 je ne comprend absolument pas quels calcule je dois effectué pour R1 et R2
Q4 pour la question 4 je me suis aidé de ma calculatrice je ne vous met donc pas les valeurs
Q5 la conjoncture sur le comportement des rectangle Rn quand n tend vers +l'infini est racine carré de 5

Donc voila j'espère que vous pourrez m'aider !!
Merci d'avance !!

bridgslam

Membre

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Re : DM suite: Algorithme de Babylone

Bonsoir

Q2: tu as déjà la longueur. Tu connais la surface, donc tu peux en déduire la largeur.
Q3: appliquer les formules données à la question précédente, aux rangs n=0 , puis n = 1.

Alain

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DELAVY

Invité

Re : DM suite: Algorithme de Babylone

Bonsoir

Q2: tu as déjà la longueur. Tu connais la surface, donc tu peux en déduire la largeur.
Q3: appliquer les formules données à la question précédente, aux rangs n=0 , puis n = 1.

Alain

Q2 si je pars de la surface=5 ca me donne ln+1=5/Ln+1 et pas 10/Ln+ln. Je suis désole je ne comprend pas

DELAVY

Invité

Re : DM suite: Algorithme de Babylone

Bonsoir,

tu as à la fois besoin de
$R_{n+1}=L_{n+1}\times l_{n+1}=5$
et de
$L_{n+1}=\dfrac{L_n+l_n}{2}$
De quoi tu déduis facilement que :
$\dfrac{L_n+l_n}{2}\times l_{n+1}=5$

À toi de jouer maintenant...

@+

J'ai enfin compris merci beaucoup je trouve donc que ln+1= 5*2/Ln+ln ce qui donne 10/Ln+ln
Merci beaucoup, Bonne soirée a vous !

DELAVY

Invité

Re : DM suite: Algorithme de Babylone

j'ai une petit dernière question:
à partir du moment où j'ai su démontrer pour la question 2 comment je fais les calculs de la question 3 Pour R1 et R2 ce que je dois modifier

yoshi

Modo Ferox

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Re : DM suite: Algorithme de Babylone

Bonsoir,

Voilà les valeurs de $(L_i, l_i)$ pour i de 0 à 9 inclus
[(5, 1), (3.0, 1.6666666666666667), (2.3333333333333335, 2.142857142857143), (2.238095238095238, 2.234042553191489), (2.2360688956433634, 2.236067059356593), (2.236067977499978, 2.2360679774996015), (2.23606797749979, 2.23606797749979), (2.23606797749979, 2.23606797749979), (2.23606797749979, 2.23606797749979), (2.23606797749979, 2.23606797749979)]

Oui $\lim\limits_{n \to \infty} L_n=\sqrt 5$  mais tu n'as pas dû observer $l_n$ (d'où le pourquoi des résultats que je te fournis)
Ta phrase (désolé, ne le prends pas mal !...) :

5 la conjoncture sur le comportement des rectangle $R_n$ quand n tend vers +l'infini est racine carré de 5

est du charabia...
Tu dois être plus précis(e)...
Puisque tu ne l'es pas, probablement n'as-tu pas remarqué que  $\lim\limits_{n \to \infty} l_n=\sqrt 5$ aussi...
Alors quelle conjecture peux-tu faire sur ces rectangles $R_n$ ?  Qu'est-ce que tu penses qu'ils deviennent quand n augmente ?

Maintenant revenons à la Q3.
Si tu ne vois pas ce qu'il faut faire, comment as-tu trouvé le moyen de calculer les $L_i$ et $l_i$ pour i de 1 à 9
Tu sais que :
1. $L_0=5$  et $l_0 =1$
2. Que $L_1=\dfrac{L_0+l_0}{2}$ et que (venant de $L_n\times l_n =5$) tu as aussi $l_1=\dfrac{5}{L_1}$
3. A partir du 1. tu calcules $L_1$, puis connaissant $L_1$, tu calcules $l_1=\dfrac{5}{L_1}$

Si je réponds à côté (tout est est possible) alors repose ta question en la précisant parce qu'alors je ne l'ai pas comprise...

@+

[EDIT] Ces suites permettent d'arriver à la méthode de calcul d'une racine carrée généralement attribuée à Heron d'Alexandrie : elle permet d'obtenir, par exemple pour n= 5, $\sqrt 5$  avec des milliers de décimales en un temps record.
Je l'ai déjà écrite via la langage Python , il y a déjà quelques années...
En voilà 2000 :
2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804899414414408378782274969508176150773783504253267724447073863586360121533452708866778173191879165811276645322639856580535761350417533785003423392414064442086432539097252592627228876299517402440681611775908909498492371390729728898482088641542689894099131693577019748678884425089754132956183176921499977424801530434115035957668332512498815178139408000562420855243542235556106306342820234093331982933959746352271201341749614202635904737885504389687061135660045757139956595566956917564578221952500060539231234005009286764875529722056766253666074485853505262330678494633422242317637277026632407680104443315825733505893098136226343198686471946989970180818952426445962034522141192232912598196325811104170495807048120403455994943506855551855572512388641655010262436312571024449618789424682903404474716115455723201737676590460918529575603577984398054155380779064393639723028756062999482213852177348592453515121046345555040707227872421534778752911212121184331789335191038008011118179004590618846249647104244248308880129406811314695953279447898998931691577460792461807500679877124204847380502773608291559913962448914943560683462529064408327944642680888989746046308353537875042061374757606883401879088192559117973574464190248537871146194090191913688035110397638436041281058110378698951852014697045642021763892890884446377826385893792440046028875405398460156061705223615090385775410042193684987254271850375215557693316723004778269866662446210678464272486385274578213410067985645305271124180595972849455195451310172309750871496529436282902540012047780324155464489988706177998190033606562243886409639287753517266295971438227956307956149523015444235016538917278640913041979397111356282139367457681174922067562108887818873671671627622623379877111539509682982890683018259081401003895509723261508452834587893607346396117236678366571982607921440289119008995584241522495712918323216741189975720139403788197728015288723418668345418382867300274314

obtenues en 7/100 s avec 11 étapes de calcul...
N-B : ma machine n'est pourtant pas une bête de course et Python n'est pas un langage "rapide"...

Dernière modification par yoshi (24-11-2021 20:26:12)

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...