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#1 15-11-2021 17:37:51
- Thgues
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Comparaison de normes
Bonsoir,
On considère [tex]E=C^1([0;1],R)[/tex] et [tex]f\in E[/tex], puis [tex]||f||_1=sup_{x\in[0;1]}|f(x)|[/tex], [tex]||f||_2=sup_{x\in[0;1]}|f(x)|+sup_{x\in[0;1]}|f'(x)|[/tex], [tex]||f||_3=|f(0)|+sup_{x\in[0;1]}|f'(x)|[/tex] et enfin [tex]||f||_4=(\int_0^1 |f(x)|^2dx)^{\frac{1}{2}}[/tex].
On me demande de comparer deux à deux ces quatre normes.
Bon, déjà, [tex]||f||_1\le ||f||_2[/tex].
Je m'intéresse maintenant à [tex]||f||_4[/tex], et j'essaie de faire apparaître [tex]f'(x)[/tex].
Pour cela, je considère [tex]||f||_4^2[/tex] et par une IPP, je trouve que [tex]\int_0^1 f^2(x)dx=f^2(1)-2\int_0^1 xf(x)f'(x)dx[/tex] et donc [tex]|\int_0^1 f^2(x)dx|=f^2(1)+2\int_0^1 |f(x)||f'(x)|dx[/tex]
Bon je suppose que maintenant, il faut que je condière les cas où f est croissante, puis décroissante sur [tex][0;1][/tex].
Est-ce que je suis sur la bonne ou je rate quelque chose d'évident ?
Merci d'avance pour vos pistes.
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#2 15-11-2021 20:38:00
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Comparaison de normes
Je m'intéresse maintenant à [tex]||f||_4[/tex], et j'essaie de faire apparaître [tex]f'(x)[/tex].
Avant d'aller plus loin, j'aimerais savoir pourquoi tu fais cela. Que cherches-tu à prouver exactement???
F.
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#4 17-11-2021 09:06:18
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Comparaison de normes
Re-
Ce qui est clair, c'est que la norme 4 est inférieure à la norme 1, et donc à la norme 2.
En revanche, tu ne peux pas majorer la norme 2 par la norme 4. Pense par exemple à une fonction qui oscille très vite tout en restant comprise entre -1 et 1. Alors sa dérivée va être grande, alors que son intégrale va être petite. Tu peux raisonner à partir de la fonction sinus....
F.
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#6 18-11-2021 14:11:35
- Thgues
- Membre
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- Messages : 127
Re : Comparaison de normes
Bonjour Fred,
Je continue mon bonhomme de chemin...
En effet, en utilisant [tex]f(x)=sin(x)[/tex], on montre qu'on ne peut pas majorer [tex]||f||_2[/tex] par [tex]||f||_4[/tex].
Pour l'instant, j'ai donc [tex]||f||_4\le ||f||_1\le ||f||_2[/tex].
Quid de [tex]||f||_3[/tex] ?
Pour les mêmes raisons, on ne peut pas majorer [tex]||f||_2[/tex] par [tex]||f||_3[/tex].
Par contre, si f est croissante sur [0;1], alors [tex]f(x)\ge f(0)[/tex] pour tout [tex]x\in [0;1][/tex] et donc [tex]||f||_2\ge ||f||_3[/tex].
Et si f est décroissante sur [tex][0;1][/tex], alors [tex]||f||_2\le ||f||_3[/tex].
Mais si la fonction n'est pas monotone, ça devient compliqué.
Pour comparer [tex]||f||_1[/tex] et [tex]||f||_3[/tex], j'ai pensé à appliquer la formule de Taylor avec reste intégral, dans l'espoir de faire apparaître une majoration ou une minoration faisant intervenir [tex]f'(x)[/tex].
Peux-tu me guider pour terminer cette réflexion ?
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#7 18-11-2021 18:18:43
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : Comparaison de normes
Bonjour,
Ou je n'ai pas bien compris la définition de $\|f\|_2$ ou de $\|f\|_3$, ou bien tu as oublié
les valeurs absolues. Mais il me semble quand même que c'est évident que $|f(0)|\leq \sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$,
ce qui te donne $\|f\|_3\leq\|f\|_2$, sans aucune hypothèse de monotonie de $f$.
Pour avoir une inégalité dans l'autre sens, un bon point de départ est :
$$f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)dt$$
puis utiliser l'inégalité triangulaire.
F.
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