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AYOUB1996

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décomposition orthogonale

Salut. s'il vous plait j'ai besoin d'aide pour cette question
Soit $B$ une algèbre de Lie abélienne euclidienne plate de dimension $\mathrm{n}$.   Supposons que $\xi$ est nilpotent. Il existe $\operatorname{donc} q \leq \operatorname{dim} B$ tel que $$ \{0\} \neq \operatorname{ker} \xi \varsubsetneqq \operatorname{ker} \xi^{2} \varsubsetneqq \cdots \varsubsetneqq \operatorname{ker} \xi^{q}=B $$ Ensuite, nous avons la décomposition orthogonale : $$ B=\bigoplus_{k=0}^{q-1} F_{k} $$  où $F_{0}=\operatorname{ker} \xi$ et, pour tout $k=1, \ldots, q-1, F_{k}=\operatorname{ker} \xi^{k+1} \cap\left(\operatorname{ker} \xi^{k}\right)^{\perp} .$ 

Question: Montrons que pour tout $1 \leq k \leq q-1$, nous avons: $$ \operatorname{dim} F_{k} \leq \operatorname{dim} \operatorname{ker} \xi^{j}, j=1, \ldots, k+1 $$

Dernière modification par AYOUB1996 (12-11-2021 01:56:06)

Fred

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Re : décomposition orthogonale

Salut,

  Une modification des arguments de cet exercice devrait te donner la solution.

F.

AYOUB1996

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Re : décomposition orthogonale

Merci Fred, mais la dernière question où le trouve le probléme
Montrons que pour tout $1 \leq k \leq q-1$, nous avons: $$ \operatorname{dim} F_{k} \leq \operatorname{dim} \operatorname{ker} \xi^{j}, j=1, \ldots, k+1 $$

Fred

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Re : décomposition orthogonale

Il me semble que ça ressemble beaucoup à la dernière question... (mais je n'ai pas réfléchi plus que cela).