Forum de mathématiques - Bibm@th.net

mate0

Membre

Inscription : 07-11-2021

Messages : 1

inégalité valeur absolue

Bonsoir

Que faut-il faire pour montrer que, pour tous réels u, v,
|u| + |v| ≤ |u+v| + |u−v|

Comment commencer ?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : inégalité valeur absolue

Bonjour

  Tu peux raisonner par disjonction de cas :
1er cas : u et v sont tous les deux positifs
2e cas : u est positif et v est négatif
et ainsi de suite.

Pour le 1er cas tu peux calculer | u | + |v| et  comparer à |u+v|. Pour le 2eme comparer à |u-v|.

F.

Paco del Rey

Invité

Re : inégalité valeur absolue

Les deux membres sont positifs. Il suffit donc de comparer leurs carrés,
\( u^2 + v^2 + 2|u|.|v| \) d'une part et \( (u+v)^2 + (u−v)^2 + 2|u+v| + |u−v| = 2u^2 + 2v^2 + 2 |u^2−v^2| \) d'autre part.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 912

Re : inégalité valeur absolue

Bonjour,

Cela revient par changement de variables linéaire et bijectif évident à montrer que [tex]\vert \frac{a+b}{2} \vert + \vert \frac{a-b}{2}\vert \le |a| + |b|[/tex], et il suffit d'utiliser l'inégalité triangulaire pour la valeur absolue.

Alain

Dernière modification par bridgslam (10-11-2021 15:19:29)