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marie23

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densité dans (X,d)

Bonjour j'aimerai montrer ceci mais j'ai du mal:
(X,d) métrique, A c X : A dense dans X
                       B c A : B dense dans A

1) a-t-on B dense dans X?

Merci de votre aide

Dernière modification par marie23 (26-10-2021 17:34:59)

Fred

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Re : densité dans (X,d)

Bonjour,

  Et si tu commençais par écrire ce que signifie que $A$ est dense dans $X$ : pour tout $\epsilon>0$, il existe
$a\in A$ tel que $d(x,a)<\epsilon$. Ensuite, tu peux approcher ce $a$ particulier par un élément $b$ de $B$ puisque $B$
est dense dans $A$. Je te laisse terminer.

F.

bridgslam

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Re : densité dans (X,d)

Bonjour

Tu peux suivre la démarche de Fred qui utilise la distance, puisque E en est muni, et c'est une application de l'inégalité triangulaire comme il te l'a implicitement suggéré.
Tu peux aussi en raisonnant sur les boules ouvertes voir que celle-ci s'affranchit de la distance, donc est valable dès que E est muni d'une topologie en suivant cette démarche plus générale fondée sur les ouverts:

Si O est un ouvert non vide quelconque de E, il contient un point a de A, par définition de la densité de A.
Puis [tex]O \cap A[/tex] est un ouvert de A, non vide car contenant a, inclus dans [tex]O[/tex].
Comme il contient un élément b de B par densité de B dans A, on a trouvé un élément de B dans l'ouvert O non vide dans X qu'on s'est donné.
Donc B est dense dans X.
L' avantage est de shunter la distance, mais dans le cas présent où E est métrique, tu peux suivre le même procédé avec des boules.

Alain