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Rosee

Invité

pavage et pavage achevé

Bonsoir,
Je suis entrain de travailler sur un problème qui traite la notion du pavage en la définissant comme suis
Soit E un ensemble quelconque
Soit p une partie de P(E)
On dit que p est un pavage si pour tout A ,B de p
L union de A et B est un elément de p
Et leur intersection l'est aussi
Alors que,
P est un pavage achevé
Si pour toute suite (An)n>=0 croissante (c à d que An est inclus dans An+1) d éléments dans P  .l union des An est aussi un élément de p
Même chose pour une suite décroissante sauf c'est l intersection dea An qui est un élément de P
D'après cette définition j'ai compris que tout pavage est achevé .or, dans une question du problème ils prennent p un pavage et ils "supposent " qu il est achevé!
Merci.

Fred

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Re : pavage et pavage achevé

Bonjour

  Le fait que l'union de deux éléments de p est dans p n'entraîne pas que la réunion dénombrable (donc infinie) d'éléments de p est dans p.

F

bridgslam

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Re : pavage et pavage achevé

Bonjour,

Prends comme contre-exemple l'ensemble des parties finies de [tex]\mathbb{N}[/tex].
Sauf erreur la réunion de {0}, {0,1}, etc n'est pas un ensemble fini.
Alain

Rosee

Invité

Re : pavage et pavage achevé

d'accord merci
Moi l'idée qui m'a ammenée à penser cela c est que
Puisque An et An+1 est dans p alors leur réunion est dan p
Et puisque An+2 est dans p alors la réunion de ces trois ensembles est dans p
Et par une infinité de modus ponens on déduit que l union indenombrable des An  est dans p

bridgslam

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Re : pavage et pavage achevé

Bonjour,

Question intéressante.
Comme cela, tu auras juste montré qu’ une réunion finie non vide  d’emboîtés est dans P, ce qui est une propriété moins forte que celle de départ, donc sans aucun intérêt.
Ce genre de raisonnement (en gros une induction transfinie ) existe dans d’autres contextes, mais n’est pas valable ici.
Il stipule que lorsqu’une propriété devient vraie pour un certain objet dès qu’elle est vraie pour tout objet inférieur , alors elle est vraie pour tous les objets (ça marche dans le cadre des ordinaux et la théorie qui va avec).
Ici la propriété donnée par réunion finie sur deux ensembles ne te permet d’étendre les choses qu’à l’entier suivant 2, puis 3 etc,  sans jamais pouvoir "atteindre" [tex]\mathbb{N}[/tex] .
Pour d’autres questions ça peut fonctionner...
Ici la propriété a beau être vraie pour tous objets inférieurs à [tex]\mathbb{N}[/tex] à savoir les entiers,, on ne peut rien en déduire pour le plus petit plus grand ( [tex]\mathbb{N}[/tex] ) que tous les entiers.
Sinon, la récurrence classique est un cas particulier de l’induction, ce que tu peux comprendre en pensant à la récurrence forte.

Alain