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#1 12-10-2021 21:09:45

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

homomorphisme de Q dans Q*

Bonsoir
Je voudrais montrer que Hom( (Q,+); (Q*,×)) est presque  trivial.

Lorsque je considéré f un morphisme de Q dans Q* alors pour tout rationnel a et b on a f(a+b)= f(a)f(b)
Comme a et b rationnelle il existe p,q,r,s entier tel que a=p/q et b=r/s
Donc f(p/q + r/s) =f(p/q)+ f(r/s)
Or f(p/q)=pf(1/q)   f(r/s)=rf(1/s)   
f(p/q +r/s)=(ps+rq)f(1/pq)   

               

Après ça je ne sais pas comment continuer



Merci d'avance

Dernière modification par pentium mix (12-10-2021 21:14:14)

Hors ligne

#2 13-10-2021 09:21:43

Paco del Rey
Invité

Re : homomorphisme de Q dans Q*

Bonjour.

Suppose qu'il existe $r\in\mathbb Q$ tel que $f(r) = 2$.
Que peux-tu dire de $f(r/2)$ ?

Paco.

#3 14-10-2021 09:19:35

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : homomorphisme de Q dans Q*

Bonjour,

Tu dois montrer que si f existe, par analyse synthèse :

[tex]\forall r \in \mathbb{Q} \; f(r) = f(1)^r[/tex]  (pas dur).

indice

[tex]f(1)=f(q/q)=f(1/q)^q[/tex] donc [tex]f(1/q)=f(1)^{1/q}[/tex]
Puis f(p/q)= ....

Ensuite f(1) > 0 car c'est un carré.
Idée: calculer [tex]f(1/2+1/2)[/tex]

Mais par ailleurs en notant [tex]a[/tex] le rationnel positif f(1) , on a [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*  \; a^{1/n} \in \mathbb{Q}^*[/tex]
On peut montrer (si on veut faire les choses à fond, car cela paraît plutôt normal ) qu'alors on a nécessairement f(1) = 1.

indice

Ecrire que [tex]\forall n \in \mathbb{N^*} \exists  b \in \mathbb{Q^{*+}} \; tel \;que \;a = b^n[/tex].
En déduire que a= b =1

preuve

En écrivant a et b sous forme irréductible, [tex]a=\frac{p}{q} , b=\frac{s}{t}[/tex] on montre facilement que
en posant [tex]N = \lfloor sup( log_2 p , log_2 q  ) \rfloor +1 [/tex] si p et q sont >1 l'égalité [tex]b^N = a[/tex] impliquerait a = 1,
contradiction.
C'est de l'arithmétique élémentaire.

En effet de [tex]pt^n=qs^n[/tex] on tire que [tex]s^n | p[/tex] par le théorème de Gauss.
Mais avec n=N, si [tex]s \ge 2[/tex] [tex]s^N \gt p[/tex] qu’il ne peut diviser. Ainsi s=1
De même en jouant avec t et q, t=1. D’où la conclusion b=a=1.
Au passage on a montré que le seul rationnel admettant des racines rationnelles de tous ordres est 1.

Synthèse:
Un tel morphisme est l'application constante 1.

Dernière modification par bridgslam (16-10-2021 15:03:09)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#4 16-10-2021 09:48:05

pentium mix
Membre
Inscription : 27-10-2020
Messages : 155

Re : homomorphisme de Q dans Q*

Merci beaucoup

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