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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 12-10-2021 16:41:21
- Zarathoustram
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- Messages : 28
L'image d'un compact par une application continue est compacte
Bonjour tout le monde !
Dans mes petites révisions, je suis tombé sur le théorème (dit fondamental ?) suivant: L'image d'un compact par une application continue est compact. Problème: dans la démonstration, il est supposé que les espaces de départ et d'arrivé sont des espaces métrique. Ou encore, dans mon cours, il est seulement supposé que l'espace d'arrivé est séparé.
Je me suis donc attelé à la tâche de le démontrer en toute généralité, ça me parait correcte, mais étant donnée que je ne suis pas tombé dessus, je préfère poster ma démonstration ici pour qu'on me confirme sa justesse, ou que l'on me dise où je me suis trompé (histoire que je ne débite pas des aberrations par la suite...).
La voici:
Soient E, F, deux espaces topologiques et $f : E \rightarrow F$ une application continue.
Soient $K \subset E$, un compact et $L := f (K)$.
Soient $(V_i)_{i \in I} \subset \mathcal{T}_E$ un recouvrement ouvert de $L$ et $(U_i)_{i \in I}$ défini par $U_i := f^{- 1} (V_i)$.
Par continuité de $f$, les $U_i$ sont ouverts. De plus, $K \subset\underset{i \in I}{\cup} U_i$.
Par compacité, il existe $J \subset I$, fini, tel que $K \subset\underset{i \in J}{\cup} U_i$.
Donc $L = f (K) \subset f \left( \underset{i \in J}{\cup} U_i \right) \subset
\underset{i \in J}{\cup} f (U_i)$=$\underset{i \in J}{\cup} V_i$.
Qu'en pensez-vous ?
En vous remerciant !
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#3 13-10-2021 17:05:46
- bridgslam
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- Messages : 1 302
Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte
Bonjour,
Avec les définitions classiques un compact est aussi séparé, d’où l’hypothèse en plus d’espace d’arrivée séparé...
Ou alors on ne lit pas la même littérature...
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#4 17-10-2021 01:37:28
- Zarathoustram
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Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte
Merci Fred.
Merci Alain, je viens de faire une rapide vérification sur le wiki, c'est vrai qu'on suppose en général l'espace séparé (pour s'économiser des mots j'imagine ? Puisqu'on travaille la plupart du temps dans des espaces séparés ?), cependant, la définition de compacité que je connais (j'aime bien la topologie générale) est la suivante: de tout recouvrement d'ouverts, il est possible d'extraire un recouvrement fini. Donc on ne suppose pas à priori qu'il est séparé, et il ne me semble pas qu'un espace compact soit toujours séparé (faux déjà pour la topologie grossière, mais c'est peu de dire cela).
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#5 17-10-2021 21:30:44
- valoukanga
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- Messages : 196
Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte
Bonjour !
Je viens me permettre de répondre à la question : il y a une distinction (usuelle à mon sens ?) qui est faite dans la littérature. La définition de compacité est la suivante : un espace est compact s'il est quasi-compact et séparé, où la quasi-compacité est la propriété de Borel-Lebesgue (avec les recouvrements finis d'ouverts).
Évidemment, dans le cas métrique, quasi-compact = compact, d'où parfois la distinction effacée...
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#6 19-10-2021 14:24:59
- Zarathoustram
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- Messages : 28
Re : L'image d'un compact par une application continue est compacte
Bonjour valoukanga,
Je te remercie pour ta réponse, c'est précisément ce qui me manquait ! Donc c'est mes définitions qu'il faut que je revois, hehe.
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