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Moonspeech

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Idéaux de A x B

Bonjour à tous, voici mon problème :

Soit A et B des anneaux commutatifs unitaires
Je voudrais montrer que K est un idéal de A x B ssi K = I x J avec I et J sont des idéaux respectivement de A et de B.

Pour montrer le sens direct, je suppose que K est un idéal de A x B. Je considère ensuite les applications pA : A x B --> A et pB : A x B --> B les projections sur A et B respectivement. Comme ce sont des morphismes surjectifs, on a que pA(K) et pB(K) sont des idéaux respectivement de A et de B.

Je voudrais alors montrer que K = pA(K) x pB(K)

Soit z dans K, on a z = (pA(z) ; pB(z))  d'où z appartient à pA(K) x pB(K)

Cependant, je n'arrive pas à montrer la deuxième inclusion.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

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Re : Idéaux de A x B

Bonjour,

  Tu choisis donc $(x,y)\in I$ et tu voudrais démontrer que $(x,y)\in K$. Puisque $(x,y)\in I$, tu sais que $x=p_A(x,b)$ pour un certain $b$ dans $B$ tel que $(x,b)\in K$. Un indice pour continuer : remarquer que $(x,0)$ est lui aussi dans $K$.

F.

bridgslam

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Re : Idéaux de A x B

Bonjour,

Tu peux utiliser le fait que K est un idéal, et que (x,y) de [tex]p_A(K) \times p_B(K) [/tex] vaut (1,0)(x , y') + (0,1) (x' , y) qui reste bien dans K, et c'est fini.

Alain

Dernière modification par bridgslam (03-10-2021 14:34:56)

Moonspeech

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Re : Idéaux de A x B

Merci beaucoup pour votre aide, je vais essayer de rédiger une solution complète.