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Anonyme007

Invité

Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonsoir à tous,

Soit [tex]X[/tex] un espace topologique et [tex]A[/tex] une partie de [tex]X[/tex].
Comment établir que : [tex]\overline{ A^c } \subset \mathrm{int} (A )^c[/tex] ?
[tex] \mathrm{int} (A ) [/tex] est l'interier de [tex]A[/tex].
[tex]A^c[/tex] est le complémentaire de [tex]A[/tex].

Merci d'avance.

Fred

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonjour

Moi j'ecrirais avec des quantificateurs ce que cela signifie si un élément [tex]y[/tex] est dans l'un ou l'autre des ensembles que tu donnes, simplement en utilisant la définition de l'intérieur et de l'adhérence. Puis je montrerais que la première propriété entraine la seconde.

Fred

Anonyme007

Invité

Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Salut Fred :

On peut faire plus simple :
On a : [tex]\mathrm{int} (A) \subset A[/tex]. Par conséquent : [tex]A^c \subset \mathrm{int} (A)^c[/tex][tex][/tex]
Puisque, [tex]\mathrm{int} (A)^c[/tex] est un fermé qui contient : [tex]A^c[/tex], alors : [tex] \mathrm{int} (A)^c[/tex] contient : [tex]\overline{A^c }[/tex], le plus petit fermé contenant : [tex]A^c[/tex].
Par conséquent : [tex]\overline{ A^c } \subset \mathrm{int} (A)^c[/tex].

Comment établir la réciproque :  [tex]\mathrm{int} (A)^c \subset \overline{ A^c }[/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Je ne suis pas sûr que cela soit plus simple que ce que je te propose...
En plus ma méthode montre en quelques lignes que les 2 ensembles sont égaux.

freddy

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Salut anonyme,

suis les conseils de Fred et essaie d'utiliser sa méthode : quand tu maîtrisera la technique, elle te serviras dans de nombreuses situations, en topologie générale comme ailleurs !
Bon courage !

Dernière modification par freddy (16-10-2015 18:22:07)

Anonyme007

Invité

Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Oui, c'est vrai, je vous remercie à vous deux :
Voici ce que j'ai fait :
[tex] \forall x \in X \ [/tex] : [tex] \ x \not \in \overline{ A^c } \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists r > 0 \ : \ B(x,r) \bigcap A^c = \emptyset \ \ \Longleftrightarrow \ \ \exists r > 0 \ : \ B(x,r) \subseteq A [/tex]
[tex] \Longleftrightarrow \ \ x \in \mathrm{int} (A) \ \ \Longleftrightarrow \ \ x \not \in \mathrm{int} (A)^c [/tex]
Par conséquent : [tex] \overline{ A^c } = \mathrm{int} (A)^c [/tex].
Non ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Ce n'est pas plus difficile que cela... à une condition : es-tu sûr que ton espace est muni d'une distance? Tu nous as parlé d'un espace topologique, pas d'un espace métrique. Si ce n'est pas le cas, la même méthode fonctionne, mais en remplaçant [tex]\exists r>0[/tex] par il existe un voisinage [tex]U[/tex] de [tex]a[/tex], et [tex]B(a,r)[/tex] par cet ouvert [tex]U[/tex].

F.

Anonyme007

Invité

Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Merci Fred.  :-)

Céphas-Paul

Invité

Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonjour, s'il vous plaît comment on peut montrer que l'adhérence de A est l'intersection de toutes les parties contenant A avec A une partie d'un ensemble E.
  Merci!!!

Céphas-Paul

Invité

Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonjour, s'il vous plaît comment on peut montrer que l'adhérence de A est l'intersection de toutes les parties de E contenant A avec A une partie d'un ensemble E.
  Merci!!!

bridgslam

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonjour,

Sinon, pour la réciproque  sans espace métrique ( donc pas de sens pour les boules ) , comme [tex]\overline{ A^c } \supset A^c [/tex] on a
[tex](\overline{ A^c })^c  ouvert  \subset A  [/tex]  donc [tex](\overline{ A^c })^c   \subset \overset{\circ}{A}  [/tex],
puis en repassant au complémentaire :
[tex] (\overset{\circ}{A})^c  \subset \overline{ A^c } [/tex].

Alain

Dernière modification par bridgslam (01-10-2021 10:27:51)

bridgslam

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Re : Topologie:complémentaire de l'adhérence et intérieur du complémentaire

Bonjour, s'il vous plaît comment on peut montrer que l'adhérence de A est l'intersection de toutes les parties contenant A avec A une partie d'un ensemble E.
  Merci!!!

Bonjour,

C'est faux... ça va te donner A.
... intersection de toutes les parties fermées  contenant A là ok.

Bis repetita placent: merci de ne pas donner à prouver des énoncés faux ( ou incompréhensibles ).

Ici ça passe car l'ineptie est grossière, mais pour des énoncés faux plus subtils, on ne peut pas passer trop de temps à chercher des contre-exemples avant de se dire que ça a une bonne chance d' être vrai et de s'atteler sérieusement à la résolution.

Alain

Dernière modification par bridgslam (01-10-2021 10:42:40)