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Moonspeech

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Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b>

Bonjour, voici mon problème :

Soit (a;b) dans Z. On considère I = <2, X²+aX+b> l'idéal engendré par 2 et X²+aX+b dans Z[X].
Quel est le cardinal de Z[X]/I ?

Pour résoudre ce problème j'ai d'abord essayer de mettre en bijection Z[X] avec un Z/nZ avec un morphisme surjectif dont le noyau serait I, puis en passant au quotient on aurait l'isomorphime Z[X]/I avec Z/nZ. Cependant je n'y arrive pas.

Merci d'avance pour votre aide.

Paco del Rey

Invité

Re : Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b>

Bonsoir.

Dans une classe $\mathbb Z[X]/<2, X^2+aX+b>$ tu peux toujours trouver un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 et à coefficients dans $\{0,1\}$.

Paco.

Moonspeech

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Re : Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b>

Merci pour votre réponse. J'ai un début de rédaction :

On considère p : Z[X] --> Z[X]/I la surjection canonique.
Soit P dans Z[X], on écrit la division euclidienne de P dans Z[X] :
P = Q(X²+aX+b) +cX+d. Donc p(P) = p(Q(X²+aX+b)) + p(cX+d) car p est un morphisme (I est un idéal bilatère) puis
p(P) = p(cX+d) car Q(X²+aX+b) appartient à I et donc p(Q(X²+aX+b)) = 0
Puis p(cX+d) = 0 ou 1 ou X ou X+1 selon si les coefficients c et d sont pairs ou non.

Je pense que ça devrait être bon. La réponse à la question était donc 4 mais par contre mon idée de départ ne servait à rien dans cet exercice visiblement.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Cardinal de Z[X]/<2, X²+ax+b>

Bonjour,

Il ne reste plus qu'à s'occuper du reste obtenu puisque le (quotient) x (dividende)  est dans l'idéal.
Mais cX+d peut toujours s'écrire 2P(X) + Q(X) avec P, Q dans Z[X] , et Q est un polynôme de degré au plus 1 et à coefficients dans {0,1} , dont la valeur dépend de la parité de c et de d.
Par exemple (2k+1)X + 2s = 2(kX+s) + X     ( si c est impair et d pair ) etc.
Comme 2P(x) est dans l'idéal, on a le représentant réduit annoncé.
Il faut vérifier ensuite que chacun est dans une classe distincte modulo l'idéal I.

Donc 4 classes effectivement.

Alain