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#2 29-09-2021 20:38:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Equation
Bonjour,
Je n'ai pas (vraiment) réfléchi à comment résoudre cette équation, mais en tout cas, les solutions ne sont pas jolies :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=s … 1-x%5E2%29
Tu es vraiment sûr de cette équation? Elle arrive dans quel contexte???
F.
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#4 29-09-2021 20:58:14
- Paco del Rey
- Invité
Re : Equation
La solution donnée par Fred et Wolfie donne très envie de poser $x=cos t$.
Paco.
#5 30-09-2021 12:48:30
- Paco del Rey
- Invité
Re : Equation
Puisque \( x \in [{-1}~,~1] \), on peut -- sans perte de généralité -- poser \( x = \cos t \).
L'équation (E) devient :
\[ \sqrt{1-\cos t} = 2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert. \]
En élevant les deux membres au carré on a nécessairement :
\[ 1-\cos t = (2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert)^2. \]
(on a aussi récupéré les solutions de \( -\sqrt{1-\cos t} = 2\cos^2 t - 1 - 2\cos t\vert \sin t \vert \))
\[ \begin{array}{lrcl}
\text{On a donc } : &1-\cos t &=& 4\cos^4 t + 1 + 4\cos^2 t\sin^2t - 4\cos^2t - 8\cos^3t\vert \sin t \vert + 4\cos t\vert \sin t \vert\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( - 8\cos^2t\vert \sin t \vert + 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left(-8 \vert \sin t \vert + 8\vert \sin t \vert^3 + 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( 8\vert \sin t \vert^3 - 4\vert \sin t \vert + 1 \right)\\
\text{soit} & 0 &=& \cos t \left( u^3 - 2u + 1 \right),
\end{array} \]
en posant \( u := 2\vert \sin t \vert \).
Clairement, \( 0 \) n'est pas solution de (E) (c'est une solution de \( -\sqrt{1-x} = 2x^2 - 1 - 2x \sqrt{1-x^2} \) ) donc on a \( u^3 - 2u + 1 = 0 \). On a \( 1 \) racine évidente de \( u^3 - 2u + 1 = 0 \) et on peut factoriser : \( u^3 - 2u + 1 = (u-1)(u^2 + u - 1) \).
On en déduit que \( \vert \sin t \vert = \dfrac12 \) ou \( \vert \sin t \vert = \dfrac{-1+\sqrt5}4 \) car \( \dfrac{-1-\sqrt5}4 < 0 \). Finalement on a \( \cos^2t = 1 - \vert \sin t \vert^2 \in \left\{ \dfrac34 ; \dfrac{5+\sqrt5}8 \right\} \) et \( x \in \left\{ \dfrac{\sqrt3}2 ; -\dfrac{\sqrt3}2; \sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} ; -\sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} \right\} \).
On (c'est-à-dire pas moi !) vérifie que seul \( \dfrac{\sqrt3}2 \) n'est pas solution de (E).
\[ \boxed{~\mathscr S = \left\{ -\dfrac{\sqrt3}2; \sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} ; -\sqrt{\dfrac{5+\sqrt5}8} \right\}~} \]
#7 02-10-2021 17:34:11
- mel6502
- Membre
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- Messages : 4
Re : Equation
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