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obitomar

Invité

Etude d'une suite

Bonsoir,
j'ai une suite definie par:

Un+1 = Un/2 si Un est pair
Un+1 = Un + a  si Un est impair
avec a impair et U0 strictement positif

Je dois montrer que cette suite est periodique à partir d'un certain rang.

J'ai essayé d'écrire pour U0 pair, U0 sous la forme U0= (2^b)*n1 ainsi Ub = n1 est impair et Ub+1 = n1 +a  est pair mais je n'aboutit à rien.
Pouvez vous me donner des pistes de reflexion ?(je ne veux pas la reponse)
Merci d'avance.

gigot

Invité

Re : Etude d'une suite

Bonsoir,

Il me semble que ton problème est insolvable à l'heure actuelle jusqu'à preuve du contraire. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Cordialement.

obitomar

Invité

Re : Etude d'une suite

Bonsoir,

Il me semble que ton problème est insolvable à l'heure actuelle jusqu'à preuve du contraire. Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse

Cordialement.

Alors j'ai lu l'artcile mais ce n'est pas exactement la même suite.

bridgslam

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Re : Etude d'une suite

Bonjour,

Il y a toujours un terme de la suite impair, donc tu peux déjà ( en décalant les indices ) te ramener à [tex]u_0[/tex] impair.

Alain

bridgslam

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Re : Etude d'une suite

Bonjour,

Je suppose donc [tex]u_0[/tex] impair ( sinon on s'y ramène forcément au bout de quelques itérations ).
C'est clair si [tex]u_0 = a[/tex] :  suite = a, 2a, a, 2a ,...
Un premier cas est simple à régler: si [tex]u_0  < a [/tex] le prochain terme impair suivant de la suite est aussi < a, on recommence etc mais comme il n'y a qu'un nombre fini d' entiers dans [ 1 , a [ , on retombe forcément une image de la suite déjà obtenue à moment donné, puisque la quantité d'indices de la suite, lui,  est infini..

Reste le cas [tex]u_0  > a [/tex]... que je te laisse résoudre par récurrence ( Que se passe-t-il pour a+2 etc de 2 en 2 puisque le terme initial est supposé impair, ça se fait bien car si [tex]u_0 =  a+2 [/tex] on se ramène au premier cas... etc)

Alain

Dernière modification par bridgslam (29-09-2021 10:18:35)

bridgslam

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Re : Etude d'une suite

Re-bonjour,

▼mon corrigé détaillé, ne lire qu'après avoir galéré (comme moi) un moment

- La suite admet une valeur impaire : c'est évidemment le cas si [tex]u_0[/tex] est impair, sinon on écrit [tex]u_0 = 2^{\alpha}\beta[/tex] avec [tex]\beta[/tex] impair, mais alors d'après la définition de la suite [tex]u_{\alpha} = \beta[/tex] est impair.
Soit k un indice quelconque tel que [tex]u_k[/tex] est impaire ( par exemple le premier).

Dès lors on peut montrer la propriété demandée en considérant seulement la sous-suite [tex](u_n)_{n \ge k} [/tex], ou bien en remarquant qu'on peut simplement s'intéresser aux suites de terme initial impair. C'est quif-quif ( par décalage des indices), et je fais plutôt  comme ça ci-dessous.

1)Si [tex]u_0 \le a[/tex] l'impair suivant dans la suite est dans [1,a] car déjà [tex]u_1 \le a[/tex], puis par induction tous les impairs de la suite à partir de [tex]u_0[/tex] sont donc dans [1,a]. Comme [1,a] est fini, au moins une valeur est prise deux fois par la suite, qui est donc périodique  à partir d'un certain rang (APCR). C'est le principe des pigeons avec un nombre quelconque (a) de cages, mais une infinité de pigeons (les indices): pour au moins deux pigeons (et même ici une infinité...)  il va y avoir de la bagarre!.

2) Supposons [tex]u_0 \gt a[/tex].
Montrons que si [tex]u_0 = a+2[/tex] la suite est encore périodique APCR.
En effet a+2 étant impair, [tex]u_1 = 2a +2 = 2(a+1)[/tex] et a+1 étant pair, [tex]u_3 = (a+1)/2 \le a[/tex]. Le premier terme impair
à partir de l'indice 3 sera donc aussi [tex]\le a[/tex], ce qui nous ramène au cas 1).

[Hypothèse de récurrence sur T]: supposons que les suites de terme (impairs) initiaux  a+2t , où [tex]1 \le t \le T[/tex] soient périodiques APCR.
Alors soit la suite de terme initial [tex]u_0 = a+2(T+1)[/tex]. On a
[tex]u_1 = 2( a+T+1) [/tex], puis [tex]u_2 = a+T+1 \le a+2T[/tex]. Le premier terme impair à partir de l'indice 2 sera donc aussi [tex]\le a+2T[/tex]
Comme d'après l'hypothèse de récurrence et le 1) la suite ayant cette valeur-là comme terme initial  est périodique APCR, on en conclut que la propriété est vraie au rang T+1.

Conclusion de récurrence : pour tout terme initial impair > a, la suite est périodique APCR.

Epilogue: la suite donnée est périodique APCR.

J'aimerais tant voir résoudre  Syracuse ... hélas semble-t-il une autre paire de manches à cause juste d'un coefficient 3!
Alain

Paco del Rey

Invité

Re : Etude d'une suite

Bonjour.

Soit $n\in\mathbb N$. J'appelle $v_n$ le $n$-ième nombre impair de la suite $(u_n)$.
Comme l'a déjà fait remarquer Alain, il suffit de démontrer que la suite $(v_n)$ est majorée.

On a clairement $\forall n\in\mathbb N, \, v_{n+1} \leqslant \dfrac{v_n+a}2$.
Deux cas se présentent.
Si $v_0 \geqslant a$, alors une récurrence sans malice montre que  $\forall n\in\mathbb N, \, v_{n} \leqslant v_0$.
Si $v_0 \leqslant a$, alors une récurrence sans malice montre que  $\forall n\in\mathbb N, \, v_{n} \leqslant a$.

Dans les deux cas, on a $\forall n\in\mathbb N, \, v_{n} \leqslant \max\{v_0,a\}$ ce qui permet de conclure.