Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Buu

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Racines de l’unité

Bonjour, j’ai un devoir maison et je bloque a une question.
Voici l’énoncé de l’exercice :
Énonce du devoir
Après beaucoup de recherche je n’arrive pas à faire la question 4.a.
Pouvez vous me donner des pistes de recherches sans me donner la réponse ?
Merci d’avance

Dernière modification par Buu (17-09-2021 19:17:49)

bridgslam

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Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Je pense que |x| signifie l’ordre de x comme élément du groupe, que sais-tu sur lui ?
Assez ambigu comme notation quand on travaille dans C, à cause du module mais bon...
Il y a pas mal d’infos selon les hypothèses qui devraient te mettre sur la voie.

Alain

bridgslam

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Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

[tex]x\in G_p[/tex], que peux-tu en déduire... or x n’est pas dans [tex]\mathbb{U}_{p^{k_0}}[/tex] donc...
Lorsque l’on a dans un groupe une relation comme [tex]g^r = 1[/tex], que peux-tu en déduire pour [tex]|g|[/tex] ?

Dans la foulée pour le b/   à quel groupe appartient précisément x ? Et quel est l’ordre de ce groupe ?
En comparant à l’ordre de x, tu peux alors répondre à b/

Pour c/ raisonner par l’absurde: que se passe-il si x est dans H ? ( penser à <x> et s’aider de b/  )

Pour conclure : le complémentaire dans [tex]G_p[/tex] de ... est dans le complémentaire de H.
Donc H \ ..... = ....... d’où la conclusion.

L’exercice fournit donc une infinité dénombrable de groupes infinis abéliens dont tous les s-g stricts soient finis
( et cycliques, petite cerise sur le gâteau... ).
Je pense que ce sont les seuls.

Alain

Dernière modification par bridgslam (18-09-2021 08:50:00)

Buu

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Re : Racines de l’unité

Bonsoir, merci pour votre aide qui m’a été précieuse je pense avoir tout réussi.
Pour la dernière question j’ai raisonné par contraposée:
On a:
x[tex] \in [/tex]Gp et x[tex] \notin[/tex]Upk0[tex] \Rightarrow[/tex] x [tex] \notin[/tex]H
Par contraposée:
x [tex] \in[/tex]H [tex] \Rightarrow[/tex] x[tex] \notin [/tex]Gp ou x[tex] \in[/tex]Upk0
Or x appartient forcément à Gp car H[tex] \subset[/tex]Gp
Ainsi x [tex] \in[/tex]Upk0[tex]
Donc par double inclusion ( la première inclusion est donnée par la question 3)
H =Upk0

yoshi

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Re : Racines de l’unité

Bonsoir,

Voir :
https://www.maths-forum.com/superieur/r … 40553.htmlen général assez mal apprécié...

@+