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#1 14-09-2021 22:30:14

Ina
Invité

Limites - exo

Bonjour.

Je dois demontrer que Lim quand x tend vers 0 de :

[(1+ax)^(1/n)-1-(ax/n)]/x^(2)=[( n-1) a^(2)]/2n^(2)

Merci d'avance.

#2 15-09-2021 04:38:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 6 022

Re : Limites - exo

Bonjour

  A quel niveau es tu? Car tu as posté dans le forum lycée et je ne vois que des outils du supérieur pour résoudre ta question


F

Hors ligne

#3 15-09-2021 09:47:28

Ina
Invité

Re : Limites - exo

Je suis en terminale. On m'a demande de deduire cette limite apres avoir calculer la limite quand t tend vers 1 de (t^(n)-1)/t-1.
, cela en posant t=(1+ax)^(1/n)

#4 15-09-2021 12:02:35

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Limites - exo

Bonjour,

j'ai du mal à lire ton expression : c'est [tex]\frac {(1+ax)^{1/n}-1-(ax/n)}{x^2}[/tex] ?

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#5 15-09-2021 12:05:24

Ina
Invité

Re : Limites - exo

Oui.

#6 15-09-2021 13:29:09

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Limites - exo

Bonjour,

Au signe près la valeur de la limite est juste ( il y a un signe - devant que tu as du oublier, je pense).
La limite quand x tend vers 0 est l'opposée de celle que tu a écrite.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#7 15-09-2021 13:35:50

Ina
Invité

Re : Limites - exo

Oui c'est ça. J'ai oublie me signe -
Merci de la correction

#8 16-09-2021 07:49:51

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Limites - exo

Bonjour,

C'est plus facile en connaissant les développements limités ( cours supérieur, donc hors terminale ) mais en se limitant au programme de terminale on peut s'en sortir tout de même avec les indications.
Il s'agit d'un changement de variable avec t qui permet au voisinage de 1 et le binôme de newton ( il faut développer, ce qu'on peut faire car cette fois car n est entier ), de développer dans le sens qui nous intéresse.


Je suppose ton paramètre a non nul, et n non nul.

[tex]\frac {t^n - 1}{t-1} [/tex] tend vers n quand t tend vers 1 ( donc t est distinct de 1 ).
Tu le verras en  développant [tex](t-1)( 1 + t + ... + t^{n-1} )[/tex] qui donne ... simple calcul.

Ensuite l'expression en x indiquée exprimée (comme c'est conseillé) en fonction de t doit te donner une expression E fonction de t et de n , en facteur de [tex]a^2[/tex]. Il suffit donc de montrer que E(t) tend vers [tex]\frac{1-n}{2n^2}[/tex] lorsque t tend vers 1
( pourquoi à ton avis ?)

En notant u la variable  t - 1 ( nouveau changement de variable, pour plus de facilité ) , tu dois trouver avec un peu d'algèbre que:

E(t) = F(u) =  [tex]1/u \frac { 1 - 1/n{\frac{(1+u)^n -1}{u}}}{ (\frac {(1 +u )^n -1}{u})^2}[/tex]

On étudie la limite  (éventuelle ) de cette nouvelle expression lorsque u tend vers 0 ( car t  -> 1) donc...

L'expression sous la grande barre de fraction tend vers [tex]n^2[/tex] d'après le résultat préalable.

Pour celle au-dessus, tu développes selon le binôme de Newton, puis divisée par u, il doit te rester [tex](1-n)/2 + u\lambda[/tex]
où [tex]\lambda[/tex] est un réel issu du développement du binôme ( pas besoin de le calculer précisément).

Finalement l'expression F complète tend bien vers [tex]\frac{1-n}{2n^2}[/tex] puisque le numérateur tend vers [tex](1-n)/2[/tex] et le dénominateur vers [tex]n^2[/tex] , lorsque u tend vers 0. Mais, pour résumer:

[tex]lim_{x \rightarrow 0} (...) = a^2 lim_{t \rightarrow 1} E(t) = a^2lim_{ u \rightarrow 0} F(u)[/tex].

La limite est donc bien celle indiquée [tex]a^2\frac{1-n}{2n^2}[/tex], formule valable aussi lorsque a est nul ( la limite est nulle ).

Exercice sans doute à la limite du programme, il  nécessite pas mal de "gymnastique" et de connaissances ( binôme de Newton, produit de deux polynômes - ou somme d'une progression géométrique -, changement de variables essentiellement, calcul algébrique ).

Cependant dans l'absolu, montrer un résultat avec des outils "réduits" alors qu'une preuve est plus facile avec des outils plus forts est tout de même formateur ( quand c'est possible comme ici )
Assez difficile pour un(e?) terminale, selon moi... il faut bien s'organiser pour mener au bout le calcul.

Alain

Dernière modification par bridgslam (17-09-2021 07:45:34)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac

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#9 16-09-2021 08:11:02

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Limites - exo

Bonjour,

Pour te faire comprendre "vite fait" pourquoi on peut faire (beaucoup) plus rapide, sans passer par changement de variable, "près de 0" on peut développer les expressions avec l'exposant 1/n "presque" avec la même formule que Newton, en gros comme si 1/n était un entier.
"Presque" car la suite des coefficients (calculés de  la même façon que Newton, donc rien à retenir par coeur ) est infinie, mais seuls les premières valeurs sont intéressantes ( prédominantes quand x tend vers 0 ).
L'exposant n'a même pas besoin d'être fractionnaire (contrairement à 1/n, ici avec ce genre de gymnastique c'est indispensable pour retomber sur un entier n... avec la logique de l'exo).
En procédant comme ceci (rubrique "développements limités", hors-programme), on peut quand-même utiliser le résultat préalable sur  la limite de [tex](t^n-1)/(t-1)[/tex] qui permet d'éviter d'effectuer une division selon les puissances croissantes...

Peut-être utile pour toi si tu continues après le lycée sur les maths.
Mais là totalement hors programme c'est sûr (?) , en tous cas si je me base sur mon ancien cursus en terminale C.
Les choses ont peut-être changé, mais ça m'étonnerait, vu que sur d'autres sujets ( géométrie vectorielle et affine etc) on en faisait déjà nettement plus à cette époque-là. Par-contre pas de stats ( mais probas assez poussées, de mémoire), ni théorie des graphes.

Alain

Dernière modification par bridgslam (16-09-2021 09:34:19)


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#10 17-09-2021 10:39:53

Ina
Invité

Re : Limites - exo

Bonjour, merci de votre reponse.

Pourriez-vous detailler le calcul de limite de l'expression au dessus de la grande barre de fraction, j'ai du mal avec celle-ci.

#11 17-09-2021 13:44:49

bridgslam
Membre
Inscription : 22-11-2011
Messages : 415

Re : Limites - exo

Bonjour,

C'est du calcul, développer [tex](1+u)^n[/tex] avec la formule du binôme ( à connaître absolument, là c'est du niveau normal de terminale).
Il n'y a pas à écrire toutes les puissances de u ... Recommence si tu n'en as pas pris assez pour la suite du calcul.

Insérer le résultat de ce développement  avec le reste de l'expression au numérateur ( Ne pas oublier de diviser par u qui est en facteur... )
Après les simplifications tu trouveras au final une fonction affine de u , pour le numérateur, [tex]\lambda u  + ( qque \;chose \;fonction \; de \;n)[/tex]
Lorsque u tend vers 0 , le numérateur final  tend donc vers ( qque chose fonction de n).  La valeur exacte de [tex]\lambda[/tex] ne joue pas.

Je ne vais pas tout t'écrire, ce qui reviendrait à faire l'exo à ta place: la partie algèbre est faisable, c'est du ressort de la terminale.
Ce qui est sûr c'est que c'est la bonne démarche (sans DL), je ne vois pas d'autre moyen plus direct niveau terminale.
Et je t'ai donné tous les éléments pour y arriver par toi-même.


Alain


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