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Abdoumahmoudy

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Définition d'une application

Bonjour
On sait bien qu'une application est un procédé qui associe à tout élément de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée . Mais il existe des applications dites non bien définies , Donc cette définition d'une application est fausse n'est ce pas ?
Merci de me répondre s'il vous plaît .

Paco del Rey

Invité

Re : Définition d'une application

Bonjour Abdoumahmoudy.

Il serait bon que tu donnes un exemple de ce que tu appelles une application non bien définie.
Sinon, ta définition est bonne : Une application $f$ est constituée d'un ensemble de départ $e$, un ensemble d'arrivée $F$, et d'un graphe $\Gamma\subset E\times F$, fonctionnel, c'est-à-dire que $\forall x \in E$, $\exists ! y$ tel que $(x,y)\in \Gamma$.

Ce que tu appelles application non bien définie a toutes les chances de ne pas être une application.

Paco

Abdoumahmoudy

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Re : Définition d'une application

On sait que pour qu’une application f de E dans F soit bien définie, il faut que pour tout élément x de E, f(x) soit bien définie et soit dans F. Donc il en existe qui ne sont pas bien définie.
Et même dans les suites parfois on nous demande de montrer qu'une suite (qui est une application )est bien définie . Donc il existe des applications non bien définies .mais on sait qu'une application associe un et un seul élément dans l'ensemble d'arrivée , ce qui est contradictoire ! Non ?!

Paco del Rey

Invité

Re : Définition d'une application

Il n'y a pas de contradiction.

Dire que la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \sqrt2$ et $\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1} = \dfrac{3u_n-1}{u_n+3}$ est bien définie demande une démonstration. Tant que cette démonstration n'est pas terminée, tu ne peux pas affirmer que tu as effectivement une suite dans les mains.

Autre exemple (classique) : Soit $A = \{ a + b\sqrt2, \;(a,b)\in \mathbb Z \}$.
Soit $x = a + b\sqrt2 \in A, \;(a,b)\in \mathbb Z$, on pose $N(x) = a^2 - 2b^2$.

Vérifier que $N$ définit bien une application.

Moralité : Tant qu'on n'a pas démontrer qu'une application est bien définie, ce n'est pas une application.

Paco.

bridgslam

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Re : Définition d'une application

Bonjour,

Souvent on affiche un procédé ( la plupart du temps calculatoire, au moins dans les niveaux élémentaires ) permettant d'associer à un objet un objet unique.
A ce stade on en est à une fonction, ou dit autrement à un graphe fonctionnel: au plus un objet est associé à celui de départ.
Ou encore dit autrement: si cette association est possible pour x ( donnant le y ) on dit que ce sera la seule image y de x.
Reste en général à montrer ( quitte souvent à restreindre le champ des x possibles à un ensemble E) que l'on aboutit à une application:
alors pour tout x  dans E, le procédé conduit à un y qui existe bel et bien ( en plus de l'unicité ).
Les anglo-saxons je crois évoquent les "functions" comme synonymes d'"applications" pour nous, tandis que nous autres faisons la distinction entre les deux notions.

Ta question est intéressante.

Dans un pays imaginaire où on ne connaît pas le nombre 0, on a envie de considérer la fonction Cheveux: p -> NbreDeCheveux (p).
C'est bien une fonction,  tout à fait définie, et simplement, sur une population donnée.
Il faudra bien exclure tous les chauves de la population en question pour qu'elle soit une application.

Exemple à la c** , sans doute, qui qui peut permettre de mieux saisir la nuance.

Alain

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"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

Abdoumahmoudy

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Re : Définition d'une application

Il n'y a pas de contradiction.

Dire que la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \sqrt2$ et $\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1} = \dfrac{3u_n-1}{u_n+3}$ est bien définie demande une démonstration. Tant que cette démonstration n'est pas terminée, tu ne peux pas affirmer que tu as effectivement une suite dans les mains.

Autre exemple (classique) : Soit $A = \{ a + b\sqrt2, \;(a,b)\in \mathbb Z \}$.
Soit $x = a + b\sqrt2 \in A, \;(a,b)\in \mathbb Z$, on pose $N(x) = a^2 - 2b^2$.

Vérifier que $N$ définit bien une application.

Moralité : Tant qu'on n'a pas démontrer qu'une application est bien définie, ce n'est pas une application.

Paco.

C'est ce que je cherche
Donc toujous une application qui est non bien définie ne sera pas une application .
Merci beaucoup .

Dernière modification par Abdoumahmoudy (30-08-2021 12:22:32)

bridgslam

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Re : Définition d'une application

Re-bonjour,

De mon côté, une application non bien définie n'en est pas une. On ne peut donc pas non plus donner cette assertion incohérente sur le plan logique.
Je pense qu'il vaut mieux dire : une fonction non partout définie sur E n'est pas une application sur E.
Afin d' éviter cette incohérence de nommer un objet avec un terme mathématique pour ensuite dire qu'il ne correspond pas à ce terme.
C'est comme si je disais  : les quadrupèdes a 5 pattes ne sont pas des quadrupèdes, au lieu de "les animaux à 5 pattes ne sont pas des quadrupèdes"...

Si on introduit des antinomismes logiques rien qu'au niveau des définition, on ne risque pas de s'en sortir.

Alain

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Paco del Rey

Invité

Re : Définition d'une application

Non. Ce n'est pas ce que j'ai écrit.

Une application qui n'est pas bien définie n'est pas une application, jusqu'à preuve du contraire.

Il se trouve que $N$ est une application de $A$ dans $\mathbb Z$. Pour autant, tant que je ne l'aurai pas démontré, je ne peux pas me targuer d'avoir une application.

D'ailleurs en remplaçant $A$ par $A' = \{ a + 3b, \;(a,b)\in \mathbb Z \} $, on voit bien que pour $x = a + 3b \in A'$ avec $(a,b)\in\mathbb Z^2$, l'expression $N(x) = a^2 - 2b^2$ n'a pas de sens.

Le langage mathématique consiste en un dialogue entre deux entités (souvent incarnées par la même personne) : un prouveur (P) et un sceptique (S). Tant qu'ils ne sont pas d'accord, rien n'est fixé. Je reprends mon exemple :

(P) : Soit $A = \{ a + b\sqrt2, \;(a,b)\in \mathbb Z \} $. Je considère l'application $N : A \rightarrow \mathbb Z$ définie par $N(a + b\sqrt2) = a^2 - 2b^2$.

(S) : Tu n'as pas démontré que $N$ est une application. D'ailleurs, est-ce bien vrai ?

(P) : Effectivement, jusque là, $N$ n'est pas bien définie. Je précise, etc.

Pablo.

bridgslam

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Re : Définition d'une application

Moi non plus...

Je conteste complètement cette phrase: "une application non bien définie n'est pas une application".
Au départ, on dit que l'objet est une application, pour dire ensuite que ce n'en est pas une...
Un chat bleu n'est pas un chat, quelque chose ne colle pas...

On peut détailler:
Soit a une application. On suppose que a est non bien définie.
Montrer que l'application a n'est pas une application... ???
Le problème c'est que déjà à la fin de la deuxième phrase, a n'existe pas ( d'après la définition d'une application ).
A la troisième on essaie donc de montrer une propriété d'un objet qui n'existe pas...

Le seul truc qu'on peut dire: une application non "bien" (? au sens ambigu d'ailleurs, mais passons ) définie n'existe pas.
"Un chat bleu n'existe pas"
Il faut se méfier aussi des expressions littérales, conduisant à des écritures vides de sens;
Si [tex]x = a + b\sqrt2  etc [/tex]  on ne peut pas écrire [tex]n(x) = a^2 - 2b^2[/tex].
Il se trouve que ce n'est pas le cas, mais quel (a,b) prends-tu s'il y en a plusieurs pour x? un couple au hasard ? Et ensuite n(x) = ... pleins de réels? n est ici défini... par rien, on ne peut a fortiori même pas parler de fonction,
tout au plus n(a,b) = ... a un sens, et après on montre que n(a,b) ne dépend pas de la représentation de x choisie ( et pour cause ici dans ce cas précis) etc.
On ne procède pas tellement différemment en algèbre générale lorsqu'on définit une application sur un ensemble de classes d'équivalence.
L'application associe telle valeur f(x)  a un élément x, ensuite on remarque que rien ne change quand x parcourt sa classe C(x).
Par-contre dire au départ soit y(x) telle image de f(C(x)) , donc  définie à partir de x ( lequel etc) n' a aucun sens.

Alain

Dernière modification par bridgslam (30-08-2021 17:14:57)

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Abdoumahmoudy

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Re : Définition d'une application

En résumé , quelle est la bonne réponse ?

bridgslam

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Re : Définition d'une application

Bonjour,

Une application est toujours ("bien", mot superflu  ) définie sur son ensemble de départ.

Soient E et F deux ensembles.
Si au cours d'un problème on met en avant un procédé  P associant à un objet x un (et un seul ) objet y de F, on peut se poser deux questions:

-  pour un élément z de E définir p(z) grâce à P(x) a-t-il un sens?
   C'est souvent le cas si pour tous les objets x caractérisant (en un certain sens) ce z, le y obtenu par P est le même.
   Dans ce cas on pose p( z ) = P(x): voir l'exemple avec x = (a,b) dans le message au-dessus, où (a,b) est en fait unique pour un réel donné ( à prouver ).
   p est dorénavant (dans ce cas ) une fonction ( issue du procédé P ) de E dans F.

     x -->  y
  /
z
  \
    x'  -->  y

-  P devient une véritable application f: E -> F si la démarche précédente est réalisable pour tout z dans E
   On a alors pour tout z dans E, f(z) = p(z) = P(x)

Après je reconnais que c'est un jeu d'écriture, on peut toujours dire: "soit l'application ... etc. Est-ce une application ?"
La formulation dérange sur un plan logique: pourquoi poser la question si c'est une application ?

Mieux: "soit la fonction .... etc. Est-ce une application ?"
Dans la négative on restreint le champ des valeurs afin que la restriction de la fonction soit définie partout.

Alain

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bridgslam

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Re : Définition d'une application

Bonjour,

Si on est vaguement puriste en suivant la démarche axiomatique (dans la théorie ZFC), on suit schématiquement le fil d' Ariane suivant pour parvenir aux applications :
Contexte d'un univers U constitué d'objets, appelés ensembles. L'ensemble vide est dans U.
U est muni d'une relation d'appartenance [tex]\in [/tex].
Définition des couples (A,B) qui sont des objets de U.
Définition des graphes, à partir des couples, qui sont des objets de U, puis des graphes fonctionnels, puis des applications qui sont
des graphes fonctionnels particuliers.
Tout ceci s'élabore en conformité avec les 7 ou 8 axiomes de bases de cette théorie (qui reviennent essentiellement à des jonglages d'assertions logiques faisant intervenir la relation d'appartenance, les ensembles, et les quantificateurs).
Le C de ZFC ( pour axiome du choix ) est normalement accepté, car il conduit à des situations plus harmonieuses, une certaine symétrie dans certains résultats, mais certains le refusent, tout en acceptant souvent toutefois  une forme plus faible ( l'axiome du choix dénombrable ). C'est pourquoi dans la littérature il est de bon ton de le signaler quand on est obligé de s'en servir.
Cet axiome du choix possède des formulations équivalents diverses ( souvent plus utiles que l'énoncé initial ): théorème de Zorn etc.
Des logiciens ont prouvé qu'il est complètement indépendant des autres axiomes ZF.

Je raconte ceci pour te faire comprendre que l'objet "application" n'est pas du tout n'importe quoi, de la même façon qu'il faut se méfier
de l'emploi "intuitif" du mot appartenance portant sur des "parties" (au sens intuitif)  de U, et le distinguer de la relation de même nom entre ensembles, parties d'ensembles etc.

Il peut paraître surprenant que tout soit ensemble dans U, car dans nos scolarités on distingue soigneusement entre ensembles et éléments, mais cela n'a que des inconvénients.
Par contre des propriétés telle que [tex]x \notin x[/tex] très naturelles sont posées comme axiomes ( en tous cas si x est un ensemble quelconque, pour la classe des ordinaux, elle se démontre )

Ainsi j'espère t'avoir convaincu que débuter un exo par "soit l'application ..... Est-ce une application ? (ou pire: montrer que ce n'est pas une application. ) "  est un non-sens total.

Alain

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omita

Invité

Re : Définition d'une application

salut,j' ai une question qui est vraiment m' a cassé la tête ,j'espère bien que quelqu'un me répond prochainement

ma question est comment montrer qu'une application quelconque est bien définie ?

            merci d 'avance