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#1 21-08-2021 11:54:04

ralph.W.X
Invité

Mesurabilité d'un ensemble

Bonjour, considerons le probleme suivant.

Soit $(E,\mathcal{F})$ un espace mesurable et pour tout $r \in \mathbb{R},f_r:E \to \mathbb{R}$ une fonction $(\mathcal{F},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-mesurable.
Soit $G:=\{x \in E, \forall r \in \mathbb{R},\lim_{q \to r^+,q \in \mathbb{Q}}f_q(x)$ existe dans $\mathbb{R}\}$. Prouver que $G \in \mathcal{F}.$

On pourra remarquer que $G=\bigcap_{r \in \mathbb{R}}\bigcap_{p \in \mathbb{N}^*}\bigcup_{k \in \mathbb{N}^*}\bigcap_{(q_1,q_2) \in ]r,r+1/k[^2 \cap \mathbb{Q}^2}\{x \in E ,|f_{q_1}(x)-f_{q_2}(x)| \leq 1/p\}$.

La premiere intersection est non denombrable.

Que suggerez-vous faire ?

Merci.

#2 23-08-2021 13:13:12

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Mesurabilité d'un ensemble

A mon sens si tu as déjà au préalable expliqué pourquoi la définition de G revient à celle de l'expression ensembliste donnée, et pourquoi c'est exploitable ( critère de  Cauchy + mesurabilité de l'expression le plus à droite ) c'est déjà un bon point.
Le reste ( ta question, qui doit permettre de conclure au final )est nettement plus costaud ( sauf erreur d'énoncé ).

Alain

Dernière modification par bridgslam (24-08-2021 09:20:51)


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#3 30-08-2021 09:34:38

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 299

Re : Mesurabilité d'un ensemble

Bonjour,

Du nouveau sur cet exercice ? N'y avait-il pas une simple erreur dans la définition de G ( [tex]\mathbb{Q}[/tex] au lieu de [tex]\mathbb{R}[/tex]   )?
Ce serait  dommage d'avoir un silence radio total, après un sujet si intéressant.
A contrario, une trame de preuve, même succinte, serait bienvenue, surtout au cas où on s'est penché dessus pour rien( si erreur ) :-)

Alain


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