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Buu

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Nombre de racine d’un polynôme

Bonjour, (encore moi)
Je bloque encore sur un exercice:
Soit n>1
Montrer que si P possede n racines distinctes réelles  alors $P^2+1$ possède 2n racines complexes distinctes
J’ai essayé avec la formule de Taylor, l’expression de P avec le produit de ces racines, la factorisation $P^2+1=(P-i)(P+i)$ et par recurrence (je n’arrive pas à montrer le cas de base)
Pouvez vous le donner une piste de recherche ? (Sans me donner une réponse)
Merci d’avance

Dernière modification par Buu (19-08-2021 16:24:13)

Paco del Rey

Invité

Re : Nombre de racine d’un polynôme

$P=X^2+i$ ?

Une fois de plus, il serait bon d'avoir un énoncé exact.

Paco.

Buu

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

$P=X^2+i$ ?

Une fois de plus, il serait bon d'avoir un énoncé exact.

Paco.

Désolé encore une fois j’ai oublié de dire que P possédaient des racines réelles distinctes et P^2+1 possédaient des racines complexes distinctes

F_Adrien

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Bonsoir Buu,

Bonjour, (encore moi)
Je bloque encore sur un exercice :
Soient un entier $n>1$ et $P\in\mathbb{R}_n\left[X\right]$ un polynôme possédant $n$ racines réelles deux-à-deux distinctes. Montrez que $P^2+1$ possède $2n$ racines complexes distinctes.

J’ai essayé avec la formule de Taylor, l’expression de $P$ avec le produit de ces racines, la factorisation $P^2+1=\left(P-i\right)\left(P+i\right)$ et par récurrence (je n’arrive pas à montrer le cas de base).
Pouvez vous le donner une piste de recherche ? (Sans me donner une réponse).
Merci d’avance.

Voici un premier indice :

▼Indice 1

Soit un entier $n>1$ et $P\in\mathbb{R}\left[X\right]$ scindé sur $\mathbb{R}$ :

• Que dire des racines du polynôme dérivé $P^{\prime}$ ?

• Les racines de $P^2+1$ peuvent-elles être réelles ?

• Connaissez-vous un résultat liant dérivation et multiplicité d'une racine d'un polynôme ?

Dernière modification par F_Adrien (20-08-2021 12:17:28)

Buu

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Alors
1. on peut dire que P’ possède au maximum n-1 racines toutes différents de celles de P car elles sont tous de multiplicité 1 pour P
2. $P^2+1$ ne peut pas posséder de racines réelles car il est strictement positif
3. Mult(a,P) = b ssi pour tout $ b>=k>=0 P^{(k)}(a)=0 $et pour tout $k >b P^{(k)}(a)$ est  différent de 0
Mais je ne vois pas comment continuer

Dernière modification par Buu (19-08-2021 18:36:14)

bridgslam

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Bonjour,

F_Adrien, un tel polynôme n'est scindé sur R que si son degré est n, ce qui n'est pas dit.
Contre-exemple ( avec même que des racines  simples ) :  P =  x ( x - 1 ) (x + i).

je vois bien  là un polynôme P avec 2 ( n=2) racines réelles distinctes. Il n'est pas scindé sur R car -i est racine de P.

Ok par exemple pour  [tex] i (x - 1)^2 (x + 2 )[/tex] car son degré est égal au nombre de ses racines réelles comptées avec leurs multiplicités. celui-ci est scindé sur R, à cause du facteur i , il n'est tout de même pas dans R[X].

L' énoncé pourrait de manière plus précise se présenter sous: soit P un polynômes de C[X], dont toutes les racines sont dans R et simples,
ou bien scindé à racines simples sur R, ou bien deg P = n ....

Alain

bridgslam

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Bonjour,

▼1 idée

les racines de P et de P': combien exactement

Je note d le coefficient dominant de P ( complexe ), on se ramène à P/d en renotant encore P polynôme normalisé, polynôme cette fois réel pour pouvoir faire de l'analyse réelle.

deg P = n ( ambigu dans l'énoncé initial, comme indiqué mais bon passons )
P a exactement n racines distinctes réelles ( comme le polynome non normalisé initial).
Deg p' = n-1, donc P' a au plus n-1 racines, mais d'après le théorème de Rolle , au moins n-1 racines réelles distinctes ( considérer les (n-1) intervalles ayant les racines pour extrémités ) .
Donc P' possède ( exactement ) n-1 racines réelles. Pas de racines non réelles donc.

▼2 suite

Si P a un coefficient dominant non réel (why not), l'énoncé ( très flou) doit supposer que [tex]P^2 + 1 [/tex] n'a aucune racine réelle
par exemple si P = i( x-1 ) , P est bien scindé sur R, et 2 réel quand-même est une racine réelle de [tex]P^2 + 1 [/tex]

▼3 en admettant donc que P^2 + 1 n'a pas de racine réelle...

combien de racines a un polynôme complexe de degré 2n (pas forcément distinctes) ?
[tex]P^2 + 1 [/tex] a 2n racines ( forcément non réelles donc si P est dans R[X], ou par hypothèse supplémentaire) comptées avec leurs multiplicités
Si on montre que toutes ont pour multiplicité 1, en utilisant la dérivation et les propriétés précédentes, le tour est joué!
Si une racine (non réelle donc) de [tex]P^2 + 1 [/tex] est multiple, elle est aussi racine du polynôme dérivé de ce polynôme.
Tu devrais arriver à une absurdité d'après ce qui précède... Pourquoi?

En toute rigueur, on doit passer par l'analyse pour résoudre ce sujet d'algèbre.
Merci de fournir aussi des énoncés plus précis, sinon ce n'est pas résoluble.

Alain

bridgslam

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Alors

2. $P^2+1$ ne peut pas posséder de racines réelles car il est strictement positif

Faux, P a beau être scindé sur R, ses images P(X)  ne sont pas forcément réelles, en effet le coefficient dominant de P peut-être non réel..

Si P = i( x - a) (x -b) ( pour n = 2)  il suffit de trouver un x quelconque réel tel que (x-a)(x-b) = 1...
P est bien scindé sur R, avec toutes ses racines simples.
Ce n'est pas parce-qu'un polynôme complexe est scindé sur R qu'il est réel.

Alain

bridgslam

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Re : Nombre de racine d’un polynôme

Bonjour,

En fouillant un peu sur ce site, j'ai extirpé un exercice voisin ( rubrique polynôme ) qui peut t'éclairer.
On part bien d'un polynôme de R[X] , condition suffisante la plus simple pour que [tex]P^2 +1 [/tex] n'ait aucune racine (réelle).
Le résultat du fait que [tex]P^2 +1 [/tex] a 2n racines distinctes (non réelles) est vrai aussi avec des hypothèses moins fortes sur P, à savoir avec des multiplicités quelconques de ses racines ( preuve quasi-identique, utilisation du théorème de Rolle dans chaque cas).
Le calcul est un peu plus fin en jouant sur le fait que si a est une racine de mult. k pour P, a est une racine de multiplicité (k-1) pour P'.

Avec ton énoncé initial ( P dans C[X] ), rien ne prouve que  [tex]P^2 +1 [/tex] n'ait pas de racine réelle, et tout s'écroule.
Apparemment le tir a été rectifié en cours d'échanges.

Alain

Dernière modification par bridgslam (20-08-2021 13:55:37)