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Buu

Invité

Détermination d’une fonction 1-periodique

Bonjour,
J’ai un exercice que je n’arrive pas à résoudre voici l’énoncé:
On suppose que f est une fonction réelle, continue et 1 périodique telle que pour tout réel x
f(nx) tend vers + l’infini quand n tend vers + l’infini

Montrer que pour tout élément rationnel b on a f(b) =0
Pouvez vous si possible me donner des pistes de résolution sans me donner la solution ?
Merci d’avance

Paco del Rey

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Bonjour Buu.

Une telle fonction $f$ n'existe pas.
En effet, d'une part elle est continue sur le segment $[0,1]$ donc bornée sur $[0,1]$. Comme elle est 1 périodique, elle est bornée sur $\mathbb R$.
C'est incompatible avec $\lim\limits_{n\to\infty} f(n) = +\infty$.

Paco.

Buu

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Merci pour votre réponse mais j’ai fait une erreur de frappe la limite de la fonction en l’infini est 0 est non pas plus l’infini

Paco del Rey

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Avec le nouvel énoncé :

1) Que peux-tu dire de $\alpha=f(0)$ ?
2) Prenons $\beta=f\left(\frac12\right)$. Que peux-tu dire des valeurs prises par la suite $f\left(n\times\frac12\right)$ ?

Paco.

Buu

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Alors on peut dire que f(0)=0.
Et que les termes de la suite sont seulement 0 et f(1/2).
Intuitivement, je pense que comme on a que 2 termes possibles dans la suite et que la limite en l’infini est 0 f(1/2) doit être égal à 0 mais je ne sais pas comment le démontrer.

Buu

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Après réflexion je pense qu’il suffit de dire que toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite.
Ainsi lim u_(2n+1)->0 donc nécessairement f(1/2)=0

Paco del Rey

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Oui.

Maintenant peux-tu généraliser à un rationnel quelconque $\frac pq$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux ?

Paco.

Buu

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Oui.

Maintenant peux-tu généraliser à un rationnel quelconque $\frac pq$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux ?

Paco.

Posons un = f(n/q) -> 0 lorsque n->+00
Soit p un nombre premier avec q
Par extraction, u_(qn+p) = f(n+p/q) ->0
                                     =f(p/q)
Nécessairement, f(p/q)=0

Merci beaucoup pour votre aide

bridgslam

Membre Expert

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Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Bonjour,

On peut dire aussi que f ( ( n+kq )/q  ) = f( n/q) a donc une valeur fixe pour tout k entier, vue la périodicité 1.
La sous- suite indexée par k positif est donc une suite constante extraite d'une suite convergent vers 0 par hypothèse.
La constante f( n/q) est donc nulle.

Alain

Paco del Rey

Invité

Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Simple question : où te sers-tu de la continuité de $f$ ?

Paco

bridgslam

Membre Expert

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Re : Détermination d’une fonction 1-periodique

Bonsoir,

J'imagine que c'est pour la suite du problème... pour montrer que f est nulle, ça ne sert à rien jusqu'ici.

Alain