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user1992

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Dimension et rang en algèbre linéaire

Bonjour,

Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. Quelle est la dimension de l'espace $A = \{v \in  \mathcal{L}(E,F), v \circ u = 0_{\mathcal{L}(E,F)} \}$ ?

Mon idée est d'introduire  l'application $\varphi_{u}$ qui envoie $v$ sur $v \circ u$ pour ensuite appliquer la formule du rang. Cette application est bien définie puisque $u$ est un endomorphisme de $E$, elle est linéaire. (c'est un endomorphisme de $\mathcal{L}(E,F)$) et de noyau $A$. Je n'arrive pas à déterminer l'image de $\varphi_{u}$.

Des suggestions ?

D'avance merci.

Paco del Rey

Invité

Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Bonjour user.

Quelle est la dimension de $\{ v \in \mathcal L(E,F), \forall y \in Im(u), v(y) = 0_F \}$ ?
On peut poser $r = \dim Im(u)$ et regarder à quoi ressemble une matrice de $v$ dans une base de $E$ adaptée à $Im(u)$ et une base de $F$.

Paco.

user1992

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Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Bonjour Paco,

Merci pour ta proposition.

On suppose que $E$ est un espace de dimension $n$.

Soit $e = (e_1, e_2, \cdots, e_n)$ une base de $E$, $f = (f_1, f_2, \cdots, f_p)$ une base de $F$. Si on suppose que $\dim \text{Im}(u) = r \leq n$, on peut obtenir facilement une base de $\text{Im}(u)$ en prenant l'image par $u$ des $r$ premiers vecteurs d'une base de $E$, cette base étant libre dans $E$, alors on peut la compléter en une base de $E$ avec $e_i$ pour $i = r+1, \cdots ,n$, ce qui donne $e^{\prime} = (u(e_1), \cdots, u(e_r), e_{r+1}, \cdots, e_n)$. Ainsi la matrice de $v$ relativement aux bases $e^{\prime}$ et $f$ telle que pour tout $y \in \text{Im}(u)$ $v(y) = 0_{F}$ a ses $r$ premiers vecteurs colonnes nuls de sorte que : $$\dim \{v \in \mathcal{L}(E,F), \forall y \in \text{Im}(u), v(y) = 0_F \} = n -r $$

Paco del Rey

Invité

Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Bonsoir.

Imaginons que $u$ soit l'application nulle.
On a donc $r=0$.

Que peux-tu dire de $A$ ? Quelle est sa dimension ? Est-ce en accord avec le résultat que tu donnes ?

Paco.

user1992

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Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Si $r=0$, d'après la formule du rang $\ker u = E$,  pour tout $x \in E$, on a $v(u(x)) = v(0_E) = 0_F$. Alors tout $v \in \mathcal{L}(E,F)$ est dans $A$ et donc  $\dim A_{r=0} = n \times p$. On aurait plutôt : $$\dim \{ v \in \mathcal{L}(E,F) , v \circ u = 0_{\mathcal{L}(E,F)}\} = (n-r) \times p ~~ ?$$

Paco del Rey

Invité

Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Oui.

Tu regardes une matrice de $v\in A$ dans une base constituée au départ de $r$ vecteurs de $Im(u)$ complétée par $n-r$ vecteurs de $E$. Tu prends à l'arrivée une base de $F$ (donc $p$ lignes).
La matrice de $v$ contient nécessairement $rp$ zéros dans les $r$ premières colonnes. Les éléments des $n-r$ dernières colonnes sont arbitraires. Il y a $(n-r)\times p$ cases à remplir. C'est autant de degrés de liberté pour la matrice de $v$. C'est la dimension de $A$.

La rédaction (double inclusion) ne pose pas de difficulté sérieuse.

Paco.

bridgslam

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Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

Bonjour,

Cela a déjà été demandé:
https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?pid=93481

Cela met notamment en lumière un isomorphisme, sans faire intervenir de dim finie ( donc de matrices)

Alain

user1992

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Re : Dimension et rang en algèbre linéaire

merci pour votre aide.