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Thgues

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Dérivabilité d'une série

Salut, et bonjour tout le monde !

Je cherche à démontrer que la série géométrique [tex]\sum_{n\ge 1} x^n[/tex] est dérivable terme à terme, pour tout [tex]x\in ]-1;1[[/tex], sans passer par les théorèmes sur les séries entière.
Pour cela, je cherche donc à appliquer le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions.

Le point me posant problème est celui de la convergence uniforme de [tex]\sum_{n\ge 1} nx^{n-1}[/tex] sur [tex]]-1;1[[/tex].
J'essaye donc de montrer que la suite des restes d'ordre n, définie par [tex]R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} kx^{k-1}[/tex] converge uniformément vers la fonction nulle sur [tex]]-1;1[[/tex].

Or, [tex]\sum_{k=n+1}^{+\infty} kx^{k-1}=\frac{1}{(x-1)}^2[/tex], mais [tex]\sup_{x\in ]-1;1[} |R_n|=+\infty[/tex] et donc la suite [tex](R_n)[/tex] ne converge pas uniformément sur [tex]]-1;1[[/tex].

Où est mon erreur ?

Merci d'avance de votre aide !

Paco del Rey

Invité

Re : Dérivabilité d'une série

Bonjour Thgues.

Tu en demandes trop.
Tu demandes la convergence uniforme de [tex]\sum\limits_{n\geqslant1}nx^{n−1}[/tex] sur [tex]]−1;1[[/tex].
1/ Tu ne l'auras pas comme tu l'as remarqué (mais l'expression de ton reste est douteuse)
2/ Tu n'en a pas besoin : Il te suffit d'avoir convergence uniforme sur tout segment [tex][-R;R]\subset ]−1;1[[/tex] pour avoir la dérivation terme à terme sur tout segment [tex][-R;R]\subset ]−1;1[[/tex], donc sur [tex]]−1;1[[/tex].

Paco.

Thgues

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Re : Dérivabilité d'une série

Bonjour Paco, et merci pour ta réponse.

Mais bien sûr, l'expression du reste n'est pas correcte, d'où le blocage !
Et puis oui, je peux conclure par saturation.

Merci beaucoup Paco del Rey.

Thgues

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Re : Dérivabilité d'une série

Rebonjour Paco del Rey,

Il me semble difficile, même avec le bon reste, de prouver la convergence uniforme.
J'essaye donc de montrer la convergence normale sur tout segment [tex][-R,R][/tex] inclus dans [tex]]-1,1[[/tex].

Par exemple, [tex]|nx^{n-1}|\le n\times R^{n-1}[/tex] et [tex]n\times R^{n-1}=o(\frac{1}{n^2})[/tex] en l'infini, car R est strictement plus petit que 1.
Puis on conclut quant à la convergence normale.
Est-ce correct ?

Paco del Rey

Invité

Re : Dérivabilité d'une série

J'ai l'impression que tu mélanges convergence normale (pour laquelle on regarde les sommes partielles de la norme)
et convergence uniforme (pour laquelle on regarde une majoration (uniforme) des restes).
La convergence normale lorsqu'elle est au rendez-vous - est plus simple (à mon avis)
Sur [tex][−R,R][/tex], on a la convergence de [tex]\sum\limits_{n\geqslant1}nR^{n−1}[/tex].
Comme on a [tex]\Vert nx^n \Vert_\infty = nR^n[/tex] sur [tex][−R,R][/tex], on a bien convergence normale sur [tex][−R,R][/tex], ce qui permet de conclure.

Paco.

Paco del Rey

Invité

Re : Dérivabilité d'une série

Je me rends compte que nous avons écrit à peu près la même chose...

Paco.