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Ganesh

Invité

f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Bonjour à tous,
Pendant mes révisions je suis tombé sur un problème que je n'arrive pas à résoudre :
[tex] f(t) = \int_t^{t^2}\,\cos(t*x)\,dx [/tex]
Et il faut trouver f'(0) (la réponse est -1) mais je n'arrive pas à trouver la méthode... En effet, quand je fais l'intégrale et que je dérive, je tombe sur une expression avec t au dénominteur et comme il doit valoir 0 la formule n'est pas utilisable tel quel. Que faire ?

Merci d'avance et bonne journée !

Zebulor

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Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Bonjour,
On cherche $f'(0)$ .. et qu'as tu trouvé comme expression de $f(t)$ ?
Tu peux ensuite dériver l'expression de $f$ que tu as obtenue. Il est alors possible de  trouver un équivalent de $f'$ en 0 en cherchant des équivalents simples (toujours en 0) de $sin(t^3), sin(t^2), cos(t^2)$ et $cos(t^3)$ ...

Dernière modification par Zebulor (21-06-2021 15:45:56)

Ganesh

Invité

Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Bonjour voici ce que je trouve pour f(t) et f'(t) :

[tex] f(t) = (sin(t^3)-sin(t^2))/(t)

f'(t) = (3(t^3)cos(t^3)+sin(t^2)-sin(t^3))/(t^2)-2cos(t^2)[/tex]

Merci

Zebulor

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Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

re,
voilà.. et par "équivalents simples" je voulais dire du premier ordre, ici c'est suffisant.

Ganesh

Invité

Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Ok merci et "Équivalents simples (du premier ordre)" c'est juste le développement limité en fait ?

Zebulor

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Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Oui je voulais dire un DL d'ordre 1. En fait tu fais bien de me poser la question parce que j'aurais du écrire des DL d'ordre 1 en 0 de $sin(t^3), sin(t^2), cos(t^2)$ et $cos(t^3)$ ...d'ailleurs on ne parle pas d'équivalent simple du premier ordre..
Au final tu obtiens un DL d'ordre 1 de $f'$ en 0 qui te permet d'en déduire un équivalent de $f'(x)$ en 0, en l'occurrence -1.

Dernière modification par Zebulor (21-06-2021 16:41:14)

Ganesh

Invité

Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Oui merci c'est bien le cas, et sinon calculer la limite en t-)0 semble aussi marcher finalement
Merci beaucoup pour votre aide

Zebulor

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Re : f'(o) quand f(t) est une intégrale par rapport à dx

Oui, c'est une question de définitions avec des quantificateurs .. et un équivalent n'est rien d'autre qu'une histoire de limite mathématiquement.

En relisant tu as :
$f(t) = \frac {sin(t^3)-sin(t^2)}{t}$

$f'(t) =\frac {3t^3cos(t^3)+sin(t^2)-sin(t^3)}{t^2}-2cos(t^2)$.
En effet f(0) et f'(0) n'existent pas sous ces formes à cause des 0 aux dénominateurs. Mais il est implicite qu'on pose f(0)=0 par prolongement par continuité en 0 compte tenu de ce que tu as trouvé parce que :
- $f$ est continue sur $\mathbb R^{*}$ comme fraction de deux fonctions continues.
- les limites à gauche et à droite de 0 sont égales et valent 0
Par ailleurs en revenant à la définition de $f$ comme intégrale tu as bien $f(0)=0$ (les bornes de l'intégrale étant égales).

Dès lors f(0) existe et f'(0) a un sens. Et de même on peut poser $f'(0)=-1$ par prolongement par continuité en 0 de $f'$..

Exemple typique : $f(t) = \frac {sin(t)}{t}$ en 0

Dernière modification par Zebulor (26-06-2021 20:00:00)