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#1 16-06-2021 17:22:53

skywalker27
Membre
Inscription : 27-04-2020
Messages : 31

Nombres complexes et géométrie

Bonjour,

Je bloque sur cet exercice, quelqu'un pourrait me donner une indication s'il-vous-plaît ?

"Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que les points images des nombres complexes $1$, $z$ et $1+z^2$ soient alignés."

Pour l'instant :

- J'ai nommé :    $A$ le point d'affixe $1$;      $B$ le point d'affixe $z$;      $C$ le point d'affixe $1+z^2$.
- J'ai calculé l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ :    $Z_{\vec{AB}}=z-1$
- J'ai calculé l'affixe du vecteur $\vec{AC}$ :    $Z_{\vec{AC}}=z^2$

A, B et C sont alignés si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

------------------------ si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que : $\vec{AB} = k\vec{AC}$

------------------------ si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que : $z-1 = kz^2$ (je ne suis pas sûr: c'est correct ?)

On doit déterminer la condition nécessaire et suffisante pour que le nombre $\frac{z-1}{z^2}$ soit un réel (avec $z^2 \neq 0$).
Je vois pas comment continuer. En remplaçant $z$ par sa forme algébrique $x+iy$, on se retrouve avec des calculs "bourrin" (que j'aimerais éviter). Comment faire ?

Dernière modification par skywalker27 (16-06-2021 17:23:35)

Hors ligne

#2 16-06-2021 18:38:44

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 072

Re : Nombres complexes et géométrie

Bonsoir,

skywalker27 a écrit :

En remplaçant $z$ par sa forme algébrique $x+iy$, on se retrouve avec des calculs "bourrin"

Humm.. je n'en suis pas si sur.
Tu peux en effet remplacer  $z$ par sa forme algébrique dans la fraction $\frac{z-1}{z^2}$ puis multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par la forme conjuguée de $z^2$ (en écriture algébrique), de sorte que le dénominateur soit réel.
La nouvelle fraction obtenue est réelle si et seulement si sa partie imaginaire est nulle..

Dernière modification par Zebulor (16-06-2021 20:34:39)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#3 16-06-2021 21:00:49

Pidelta
Membre
Inscription : 03-10-2020
Messages : 82

Re : Nombres complexes et géométrie

Bonsoir

on peut aussi tenir compte de

[tex]Z[/tex]réel [tex]\iff Z=\bar{Z}[/tex]

Hors ligne

#4 18-06-2021 14:29:32

skywalker27
Membre
Inscription : 27-04-2020
Messages : 31

Re : Nombres complexes et géométrie

Merci pour votre aide !

Au final, j'ai utilisé la technique de Zebulor, mais ça revient au même.

On trouve: $y=0$ ou $(x-1)^2+y^2=1$

L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que les points A, B et C soient alignés est la réunion :
- de l'axe des réels
- du cercle de centre $\Omega(1;0)$ et de rayon 1

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