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Mathyeux

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variance

Bonsoir !
Je ne comprends pas l'implication suivante: puisque les variables aléatoires sont indépendantes, $V(S_n)=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k).$

Si quelqu'un pouvait m'éclaircir...
Merci d'avance
Mathieu

Luc-Fr

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Re : variance

Bonjour
Je doute fort de la présence de la somme puisque S_n est la  variance corrigée en appliquant les formules de linéarisation V(aX)=a²V(X) je pense c'est ca qui fait sortir le 1/n². je vois aussi S_n donc certainement dans une population et X_k donc certainement un échantillon

Mais bon ton texte n'a pas trop d'indications qu'est ce qui se passe avant qu'ils ne parlent de l'indépendance des variables? Et surtout qu'elle partie de la stat ca concerne ( inférence ou sondages)

Fred

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Re : variance

Bonjour!

Bonsoir !
Je ne comprends pas l'implication suivante: puisque les variables aléatoires sont indépendantes, $V(S_n)=\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n V(X_k).$

Parce que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$????

F.

Mathyeux

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Re : variance

Bonjour
Il est vrai que mon post manque d'informations, je ne sais pas pourquoi j'ai omis de préciser ce qu'il y avait avant. On a donc $S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n\textrm{ et }m_n=\frac{p_1+\dots+p_n}n$ avec $(X_n)$ une suite de variables aléatoires avec chaque $X_i$ qui suit une loi de probabilité Pi
Mais je pense avoir compris maintenant avec vos deux réponses : le 1/n vient de la lineairisation de la variance, et la somme du fait que V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Mathieu

Mathyeux

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Re : variance

Par contre j'ai une autre question ( je suis pas doué avec les probas...)
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur {0,…,n}2.
On veut déterminer la loi de X :$P(X=k)=\sum_{i=0}^n P\big ( (X,Y)=(k,i)\big) =\sum_{i=0}^n \frac{1}{(n+1)^2}=\frac 1{n+1}$

Ce que je ne comprends pas c'est le 1/(n+1)^2, car nul part on indique que les deux variables sont indépendantes, donc que la loi de X est la somme des produits des deux probabilités

Mathieu

Luc-Fr

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Re : variance

Bonjour
Il est vrai que mon post manque d'informations, je ne sais pas pourquoi j'ai omis de préciser ce qu'il y avait avant. On a donc $S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n\textrm{ et }m_n=\frac{p_1+\dots+p_n}n$ avec $(X_n)$ une suite de variables aléatoires avec chaque $X_i$ qui suit une loi de probabilité Pi
Mais je pense avoir compris maintenant avec vos deux réponses : le 1/n vient de la lineairisation de la variance, et la somme du fait que V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Mathieu

Oui c'est exactement ca
c

Mathyeux

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Re : variance

Merci pour la confirmation
Est ce que je pourrais aussi avoir une réponse pour mon autre question ( je savais pas si je devais recréer un post pour...)
Merci d'avance
Mathieu

Fred

Administrateur

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Re : variance

Re-

  Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas, ou plutôt j'ai peur que tu mélanges tout dans ta tête.
L'énoncé te dit que le couple $(X,Y)$ suit une loi de probabilité uniforme sur $\{0,\dots,n\}^2$.
C'est donc la loi de $(X,Y)$ que l'on connait. Et elle est donnée par, pour tout $(k,j)\in\{0,\dots,n\}^2$,
$$P( (X,Y)=(k,j) )=\frac{1}{\textrm{card}(\{0,\dots,n\}^2)}=\frac 1{(n+1)^2}.$$

Ensuite, tu peux calculer $P(X=k)$ en utilisant la formule des probabilités totales (c'est ce qui est fait dans ce que tu es écrit), et à aucun moment cela n'utilise que les variables sont indépendantes.

F.