Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Karine65

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Isolement de la variable D [Résolu]

Bonjour,

Soit l’équation suivante :

C = ((1 + D)A * Y) + ((1 + D)B * Z)

Comment fait-on pour isoler la variable D ?

Les variables A et B sont des exposants.

Merci par avance pour vos réponses.

Karine.

john

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Hello,
La formule n'est pas très claire : est-ce bien C = Y*(1+D)^A + Z*(1+D)^B ?

Si oui, on sait isoler D dans quelques cas particuliers (exemple A=1 et B=2), mais dans le cas général où A et B sont des réels qcq, on ne peut s'en tirer qu'avec des méthodes numériques (du moins à ma connaissance - ce bémol en simple parapluie pour moi).

NB : Pour des indices et exposants, on utilise souvent les caractères _ et ^.
Exemples : la suite (U_n), la fonction exponentielle e^x.
Bye

JJ

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Bonjour,
pour préciser un peu la réponse de john (que je salue à cette occasion)
:
L'inconnue étant D et les paramètres connus étant A, B, C, Y et Z :
C = ((1+D)^A)Y +((1+D)^B)Z
Le signe ^ veut dire "à la puissance". Par exemple x^y veut dire x puissance y.
Posons  :
u = Y^(1/(B-A))
v = Z^(1/(B-A))
p = B/A
q = C.(v^A)/(u^B)
Etant donnés A, B, C, Y et Z , on commence par calculer p, u, v et q.
L'inconnue D est alors donnée par :
D = ((u/v)x) -1
Avec x solution de l'équation :
(x^p)+x-q = 0
Connaissant p et q, on calcule x en résolvant cette équation.
Ce genre d'équation est bien connu : Tout dépend de p, c'est-à-dire de A et de B.
Si p est égal à certains entiers relatifs ou à certains nombres rationnels (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, (-1/2), (1/2), (-1/3), (1/3), (2/3), (4/3), (1/4), (3/4), par exemple), dans ces cas, l'équation se ramène, par quelques transformations très simples, à une équation de degré entier inférieur à 5. On sait résoudre ces équations dont la (ou les) solution(s)  s'expriment avec les formules connues (1er et second degré) , les formules dites de Cardan (3ième degré) et les formules de Ferrari (4ième degré).
Dans le cas général (autres valeurs de p), les solutions ne peuvent pas s'exprimer avec les fonctions usuelles. Leur écriture formelle fait intervenir des développements en série infinie, ou des fonctions spéciales (comme par exemple les fonctions thêta de Jacobi dans le cas p=5 ) En pratique, ce qui vient d'être dit est sans intérêt concret : la résolution se fait, purement et simplement, par calcul numérique. Il existe de nombreuses méthodes pour obtenir les résultats avec autant de précision que nécessaire.

john

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Salut JJ,
Merci pour cette confirmation détaillée.
Quelle culture !!!... et de réitérer ma demande d'un titre de "membre fiable" auprès de galdinx et Fred qui ne manqueront pas de passer par ici.
A+

Karine65

Membre

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Merci pour vos réponses les gars,

C'est exact, je le conçois, la rédaction de ma formule n'est pas très clair....

En littéraire donc : C est égal à l'addition de 2 sous-ensembles.

Les premier étant :

1 + D, le tout exposant A
Ce sous-ensemble étant multiplié par Y

Les second sous-ensemble étant :

1 + D, le tout exposant B
Ce second sous-ensemble étant multiplié par Z

Ce que je recherche, c'est juste à isoler la variable D sachant que celle-ci se retrouve à 2 reprises dans la formule proposée et sous exposant. Par la suite, il m'est demandé une application numérique. Les variables A, B, C, Y et Z seront alors remplacées par des nombres.

J'espére que cette fois-ci j'ai été un peu plus claire et que vous pourrez m'aider à isoler cette variable D.

Merci encore.

Karine.

john

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Bonjour Karine,

OK pour la formule, c'est donc bien la question à laquelle nous avons répondu JJ et moi :
IMPOSSIBLE d'écrire D = f(A, B, C, Y, Z) sous forme littérale ou formelle.
Si tu connais A et B (rationnels), c'est possible dans certains cas.
De manière générale, D sera obtenue sans pb. par calcul numérique.
A+

JJ

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

J'enfonce encore un peu plus le clou :
Ce que tu demandes, Karine, est impossible dans le cas général.
Ce n'est possible que pour certaines valeurs particulières de A et B, ainsi que cela a été expliqué.
Mais, à partir du moment où les paramètres sont remplacés par des nombres donnés, c'est tout à fait différent : Les restrictions précédentes n'ont plus lieu d'être. C'est du calcul numérique. Ce n'est plus du calcul formel.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Bonjour,

Juste une intervention sur la forme...
Modérateur, je me suis vu dans l'obligation de supprimer le nouveau post de Karine qui est un double de celui-ci.
Ce nouveau message tenait compte des remarques d'icelui concernant la mauvaise lisibilité de la formule (et en particulier la non-utilisation de ^ pour introduire l'exposant).
Vous avez dit bizarre ?

JJ et John s'en ont montré, à juste titre, particulièrement interloqués...

Je souhaiterais vivement qu'un tel "incident" ne se reproduise plus.

@+

john

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Re : Isolement de la variable D [Résolu]

Salut yoshi,
je pense que tu as raison non seulement sur la forme mais aussi sur le fond. "Interloqué" n'est pas vraiment le mot, en ce qui me concerne, j'aurais plutôt écrit "agacé", car nous ne sommes hélas que des humains... Mais j'essaierai que cela ne se reproduise plus. Pardon à K.
A+