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Dalexand

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Groupes d’homotopie des sphères (morceau simple)

Bonjour,

Dans le cadre d’un stage, je suis amené à étudier certains groupes d’homotopies de sphères. Le seul résultat que je cherche à prouver est le suivant :
$\Pi_k(S^n)$ est trivial pour tout k<n.

J’ai trouvé une preuve de ce résultat dont une partie m’échappe.

On prend donc une application continue $f : S^k \longrightarrow S^n$.
On réussit à montrer qu’elle est homotope à une application $g$ $C^1$ (grâce à la compacité de $S^k$ mais bref).
Ensuite, on veut montrer que $g$ n’est pas surjective (ce qui n’était pas forcément le cas de $f$). Pour cela, il est écrit, et c’est ce qui m’échappe, que $g(S^k)$ est de mesure nulle dans $S^n$...
Cela implique que $g$ est non surjective, on peut alors prendre $p \notin g(S^k)$ et comme $S^n$\{p} est contractile, $g$ est homotope à une application constante et c’est gagné !
Le seul point qui m’échappe est donc $g(S^k)$ est de mesure nulle dans $S^n$.

Merci beaucoup pour votre aide !

Fred

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Re : Groupes d’homotopie des sphères (morceau simple)

Bonjour,

  L'idée est la suivante. Tu peux recouvrir $S^k$ par des boules de rayon $\delta$, et il t'en faut à peu près de l'ordre de $1/\delta^k$. L'image des ces boules par $g$ est un ensemble de diamètre de l'ordre de $\delta$ également, puisque $g$ est de classe $C^1$. Mais dans $S^n$, un ensemble de diamètre $\delta$ à une mesure de l'ordre de $\delta^n$, ce qui est beaucoup moins que la mesure de l'ensemble original dans $S^k$ (qui est de l'ordre de $\delta^k$).
  Avec un peu plus de détails (mais pas trop!) :  soit $\delta>0$. Tu peux recouvrir $S^k$ par environ $N=(1/\delta)^k$ boules de diamètre $\delta$.
En appliquant $g$, et en notant $C$ la constante de Lipschitz de $g$, tu peux recouvrir $g(S^k)$ par $N=(1/\delta)^k$ ensembles de diamètre $C\delta$ (l'image des boules qui recouvraient $S^k$).
  La mesure de $g(S^k)$ est donc inférieur ou égale à $N \times C^n \delta^n$ (éventuellement à une constante près...),
c'est-à-dire à $C' \delta^{n-k}$. En faisant tendre $\delta$ vers $0$, tu trouves que sa mesure est nulle.

F.

Dalexand

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Re : Groupes d’homotopie des sphères (morceau simple)

C’est bien compris.
Merci beaucoup pour cette précieuse !