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Mathyeux

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Produit scalaire

Bonjour!

Soit E un espace fini de dimension inconnue , et (e1,…,en) une famille de n vecteurs de E de norme 1 tels que, pour tout x∈E, on a
$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$  Montrer que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de E

Ce que j'ai fait, c'est que j'ai supposé que E est de dimension n, ce qui me permet d'avoir juste à prouver que $(e_1,\dots,e_n)$ est libre, ce que l'on prouve facilement en montrant qu'elle est orthogonale.
Ensuite, je valide mon hypothese de la dimension de E en utilisant le theoreme de la base incomplete: si $(e_1,\dots,e_n)$ n'est pas une base, alors il existe $(e_n+1,\dots,e_n+m)$ qui permet de completer ma famille orthogonale en une BON. sauf que si on prend un $e_j$ dans cette famille, on aurait $\|e_j\|^2=\sum_{k=1}^n \langle e_j,e_k\rangle^2. = 0$ car lee $e_k$ sont tous orthogonaux à $e_j$. On aurait alors une norme égale à 0, donc le vecteur est le vecteur nul et la famille est alors liée, car toute famille possédant 0 est liée. Donc Dim E n'est pas superieure à n.
Il reste à montrer que dim E n'est pas inferieure à n et on aura prouvé que dim E = n. Sauf que je bloque ici. Je voulais utiliser le theoreme de la base extraite et faire la même chose qu'avec le theoreme de la base incomplète, mais ca ne marche pas ici... Quelqu'un aurait il des suggestions?

Merci d'avance
Mathieu

bridgslam

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Re : Produit scalaire

Bonjour,

en écrivant que pour tout i, la norme de [tex]e_i [/tex] au carré vaut 1, et en l'exprimant selon votre relation , on trouve que [tex]e_i  \;est \; orthogonal \; à  \; e_j[/tex]
pour tous i, j distincts (-mettre à part des autres le terme le produit où i = j ).
Donc à mon sens la dimension de l'espace vaut au moins n puisque ces n vecteurs sont lin. indépendants puisque orthogonaux deux à deux.

Tous ces vecteurs donnent donc une famille orthonormale O, qu'on peut compléter ( si dim E >n ) en une base orthonormale O' de E.
Mais alors si f appartient à [tex] O'  \backslash O[/tex] on aurait donc [tex]||f||^2  = 1 = \sum_k <f , e_k>^2  = 0  [/tex] par définition de O'.
Autrement dit 0 = 1...

Ainsi dim E = n, et on a bien une base avec les [tex]e_i[/tex].

Alain

Dernière modification par bridgslam (31-05-2021 19:58:25)

Mathyeux

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Re : Produit scalaire

Bonjour et merci pour cette réponse rapide

Il se pourrait que je n'ai pas pris en compte le fait que la famille appartienne déjà à E, donc que je me sois embêté pour rien.... Merci de me l'avoir rappelé dans votre réponse

Bonne soirée
Mathieu