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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#2 01-12-2020 11:35:07
- Miss-MTL
- Membre
- Inscription : 30-09-2020
- Messages : 1
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
Pour cette leçon je me demande comment trouver un exemple d’application pertinent du PPCM. Dans ma troisième partie réservée à des exemples d’applications, je n’aborde pour le moment que le PGCD avec son calcul (algorithme d’Euclide), la démonstration de critères de divisibilité et la résolution d’équation.
Merci pour votre aide.
Charlotte
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#3 02-12-2020 23:48:07
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 181
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
En 3ème, il y a des exercices faciles d'applications de la notion de PPCM, comme celui-ci : On dispose de dalles rectangulaires de longueur 24 cm et de largeur 15 cm. Quelle est la longueur du côté de la plus petite pièce carrée qui pourrait être carrelée avec un nombre entier de dalles de ce type, sans aucune découpe?
Attention! Le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide n'est pas une application de la notion de PGCD. C'est juste un algorithme pour le calculer.
F.
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#4 03-02-2021 23:37:19
- Vibu
- Invité
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
Trouvez vous pertinent le fait que je fasse ce plan pour cette leçon:
I. PGCD (plus grand commun diviseur)
1. Définition et propriétés
2. Algorithme d’Euclide
II. PPCM (plus petit commun multiple)
III. PGCD et PPCM
IV. Applications
1. Nombres premiers entre eux
2. Égalité de Bézout
3. Théorème de Gauss
4. Décomposition en facteurs premier et PGCD
Merci d'avance!
#5 04-02-2021 10:13:26
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 181
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
Je ne suis pas sûr que présenter la partie IV avec pour titre "Applications" soit optimal.
En quoi ton point IV.4. est une application des notions de pgcd et de ppcm? Pour moi, c'est juste une autre méthode pour calculer le pgcd différente de celle de l'algorithme d'Euclide, mais pas une application.
Tes parties me semblent aussi déséquilibrées, la partie III étant très courte. Sans changer grand chose, ce serait mieux de faire
I. PGCD
II. PPCM (y compris lien entre pgcd et ppcm)
III. Nombres premiers entre eux (tout ce que tu as mis dans IV)
et de mettre des applications un peu partout.
Il y a des applications simples de la notion de pgcd ou de ppcm à des problèmes concrets, on peut appliquer ces notions (et le théorème de Bezout) pour résoudre des équations à valeurs dans Z, on peut prouver l'irrationalité de racine de 2....
F.
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#6 03-03-2021 16:18:57
- bridgslam
- Membre
- Lieu : Rospez
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- Messages : 1 422
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
Dans la partie PGCD , après Euclide, tu peux aussi rajouter ( mais c'est moins classique, par-contre formateur ) que le pgcd
de deux entiers naturels non nuls a et b est aussi [tex]a + b - ab +2\sum_{k=1}^{b-1}\lfloor ka/b \rfloor [/tex].
Selon les goûts, voire informatiquement, on peut préférer à Euclide.
En ce qui concerne le ppcm, mentionner la propriété ( utile souvent dans les groupes) qu'un premier qui ne divise pas une suite finie d'entiers ne divise pas non plus leur PPCM, me parait intéressant , la preuve sans passer par les décompositions en nombres premiers étant pédagogique.
Cordialement,
Alain
"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."
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#7 27-05-2021 16:36:30
- Ikart
- Membre
- Inscription : 18-05-2021
- Messages : 12
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
Sauf erreur de ma part, les notions de PGCD et PPCM ne sont plus abordées au collège avec le nouveau programme, et le PGCD n'est introduit qu'en Tle option Maths expert. Cependant je ne trouve rien sur la notion de PPCM sur le nouveau programme, cette leçon serait donc orienté études supérieures?
Cordialement,
Ikart
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#8 29-05-2021 22:27:23
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 181
Re : PGCD et PPCM dans $\mathbb Z$. Applications
Bonjour,
L'essentiel de ce qu'on peut faire sur le pgcd apparait quand même dans le programme de Maths Expertes. C'est avant tout une leçon sur le pgcd. Le ppcm est quand même moins important. Il faut savoir le définir, le calculer, savoir que $a\times b= \textrm{pgcd}(a,b)\times \textrm{ppcm}(a,b)$. Mais je pense que ce serait présomptueux de trop tourner cette leçon vers le supérieur et de parler par exemple d'idéaux.
F.
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