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Tempo

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[Ensemble] Je bloque sur la compréhension de l'énoncé de cet exercice

EDIT: Excusez-moi, en détaillant mon problème puis en postant et réfléchissant 2 minutes, je comprends d'où vient mon erreur...
Il est clair que {0} vérifie la condition dans l'exemple que je viens de donner.

Bonjour,

Je bloque sur la compréhension d'un énoncé d'exercice:

La correction est disponible dans la suite du livre, et je la comprends (ou du moins, je comprends qu'elle est juste).

Mais malgré tout, je n'arrive quand même pas à voir profondément ce que ça signifie sur le sens direct.
Par exemple, en posant une fonction réelle f(x) = -x, j'ai le sentiment que la condition (ii) n'est jamais vérifiée...

Je comprends donc mal l'énoncé... Voyez-vous quelles sont mes failles?

Dernière modification par Tempo (24-05-2021 11:38:56)

bridgslam

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Re : [Ensemble] Je bloque sur la compréhension de l'énoncé de cet exercice

Bonjour,

Je pense que dans le sens direct, soit on "boucle sur x" en prenant les itérés successifs par f d'un x,
alors A = { x , f(x), f(f(x)) ... } est fini donc distinct de X infini  et il convient.
Soit [tex]x \notin \{ f(x) , f(f(x) .... \} [/tex] mais alors [tex]B =  \{ f(x) , f(f(x) .... \} [/tex] , qu'il soit fini ou pas, est forcément distinct de X et convient aussi.

Alain

bridgslam

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Re : [Ensemble] Je bloque sur la compréhension de l'énoncé de cet exercice

Ou dit autrement , notons [tex]A = \{ f^n(x) , n \in \mathbb{N}^* \}[/tex].

Soit A est une partie stricte et c'est gagné, soit A = X, donc x est dans A, qui est forcément fini.
On aurait donc X= A fini, contradictoire.

Par ailleurs si X est fini, disons [tex]X = \{ x_1, ..., x_n \} [/tex], soit [tex]f \; le \;cycle \; ( x_1, ..., x_n )[/tex]
Une partie A ne peut être stable par f que si A=X.

CQFD

Alain

Tempo

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Re : [Ensemble] Je bloque sur la compréhension de l'énoncé de cet exercice

Ou dit autrement , notons [tex]A = \{ f^n(x) , n \in \mathbb{N}^* \}[/tex].

Soit A est une partie stricte et c'est gagné, soit A = X, donc x est dans A, qui est forcément fini.
On aurait donc X= A fini, contradictoire.

Par ailleurs si X est fini, disons [tex]X = \{ x_1, ..., x_n \} [/tex], soit [tex]f \; le \;cycle \; ( x_1, ..., x_n )[/tex]
Une partie A ne peut être stable par f que si A=X.

CQFD

Alain

C'est exactement cela, merci!

bridgslam

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Re : [Ensemble] Je bloque sur la compréhension de l'énoncé de cet exercice

A noter que tu mettais bien le doigt sur un vrai anti-contre-exemple, la fonction opposée ( involutive) bouclant justement en deux coups de cuiller à pôt, et en plus pour tout x de départ...

Bonne soirée
Alain