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Riro

Invité

Limite d'une fonction

Bonjour.

Soit $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue à droite et telle que pour tout $r \in \mathbb{N}^*,$ la suite $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ converge dans $\mathbb{R}.$
Prouvez que $f$ admet une limite en $+\infty.$
Indication. Prenez, pour une valeur particulière de $r,$ la limite de $(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ et vérifiez qu'elle est la limite de $f$ en $+\infty.$

Pour $r=1,$ la suite $(f(k))_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $y \in \mathbb{R}.$ Aussi, pour tout $r,(f(\frac{k}{r}))_{k \in \mathbb{N}}$ est une suite convergente, ce qui implique $\forall \epsilon>0,\ \exists p_0,\ \forall p\geq p_0,\ \forall k \in \mathbb{N},\ |f(\frac{p+k}{r})-f(\frac{p}{r})| \leq \epsilon , \qquad  (P)$

Alors, il suffit de vérifier que $\lim_{x \to +\infty}f(x)=y.$ Pour $\epsilon>0$ fixé il faut que $|f(x)-y| \leq |f(x)-f(k)|+|f(k)-y|$ pour $k$ et $x$ assez grand.
Il reste à majorer  $|f(x)-f(k)|,$ comment vérifier cela ? En utilisant le continuité à droite de $f$ et $(P)$ ?
Merci.

Fred

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Re : Limite d'une fonction

Bonjour,

  Cela ne me semble pas du tout évident. A quel niveau es-tu? A-t-on droit à des théorèmes comme le théorème de Baire? (et encore, même avec le théorème de Baire, je ne sais pas faire avec la simple hypothèse de continuité à droite).

F.

bridgslam

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Re : Limite d'une fonction

Bonjour

Soit l la limite associée à r =  1 donné dans [tex]\mathbb{N}^*[/tex], puisqu'on sait qu'elle existe par hypothèse.
.. peut-être une idée à détailler complètement formellement:

[tex]| f(x) - l | \leq | f(x) - f(k/N) | + |f( k/N) - l | [/tex] est vrai pour tout N et k .
Si x > A, alors pour N suffisamment grand et k suffisamment grand adapté pour que x soit dans [ k/N, (k+1)/N  [ , alors le terme de gauche est plus petit qu' [tex]\epsilon /2[/tex], à cause de la continuité droite , de même pour le terme de droite , si on montre que la limite l ne dépend en fait pas de r=N
Ce qui semble normal puisque la suite associée à r = 1 est extraite de toutes les autres suites ( en considérant les indices multiples d'un r donnné quelconque).

Alain

Dernière modification par bridgslam (22-05-2021 10:43:54)

bridgslam

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Re : Limite d'une fonction

Bonjour,

Je pense qu'on doit pouvoir raisonner de la façon suivante ( en notant [tex]l[/tex] la limite commune , comme on l' a vu, à toute les suites (k/r) :

Soit [tex]\epsilon > 0 \; et \; r \;entier \;non \;nul \;donné.[/tex] . Il existe un entier K tel que [tex] k > K => | f(k/r) - l  |< \epsilon[/tex].

Il suffit alors de montrer que pour tout k > K et tout x dans [ k/r, (k+1)/r [ on a la même inégalité.

Or s'il existe k > K et x dans [ k/r, (k+1)/r [  tel que [tex]| f(x) - l | \geq \epsilon[/tex],   en approchant x suffisamment par valeurs inférieures, avec la continuité à droite, on aurait à la fois [tex] | f( k' / r')  - f(x)   | < \epsilon/2 [/tex] et  avec la limite des suites f(k/n) égale à [tex]l[/tex]: [tex]| f(k'/r') - l  |< \epsilon/2[/tex]
inégalités valables pour des valeurs assez grandes de r' et k'.

C'est incompatible avec l'inégalité triangulaire et ce qu'on a supposé.

Donc x > K/r =>  [tex]| f(x) - l | \leq \epsilon[/tex].

Alain