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#1 15-05-2021 11:17:51
- Bernard-maths
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Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous !
En fait, je pensais qu'une méthode fonctionnait, lorsque je me suis aperçu qu'il y avait des débordements : donc y'a plus rien à voir ainsi !
J'ai rencontré quelques problèmes dans des démonstrations ... il me faut chercher plus ...
Si vous avez quelque idée, surtout n'hésitez pas !!!
A bientôt, Bernard-maths
EN FAIT, JE VAIS VOUS MONTRER CE QUE JE PENSAIS, ET CE QUE CA DONNE !!!
Toutefois je crois bien avoir quand même trouvé des pyramides, et des variantes ...
Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 10:53:12)
Ma philosophie est immuable : l'immobilisme tue ...
Les Anciens ont trouvé le plus facile ... il nous reste le plus dur !
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#2 01-04-2022 10:14:19
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous !
En considérant une pyramide régulière, à base de polygone régulier, j'ai constaté que pour tout point de la base (le polygone surface), la somme des distances aux plans/côtés de la pyramide est constante ! Prenons le cas d'un carré.
Sur cette figure, le carré bleuté ABCD est la base d'une pyramide de sommet S, les 4 côtés triangulaires verts sont transparents ... Un point M est sur la base ABCD, et se projette en K1, K2, K3 et K4 sur les plans/faces verts, ainsi qu'en Q1, Q2, Q3 et Q4 sur les 4 côtés du carré.
Le théorème des 3 perpendiculaires nous dit que les triangles MiKiQi, i = 1 à 4, sont rectangles en Ki ... et qu'ils sont semblables, les angles en Qi étant égaux. Ainsi on a donc : MK1+MK2+MK3+MK4 = (MQ1+MQ2+MQ3+MQ4) * sin(MQIKI) = 2 AB * sin(MQIKI) = constante !
En fait ici, les 4 triangles sont ceux d'un octaèdre pour z>=0 ... (penser à abs(x)+abs(y)+abs(z)=5).
Dans ce repère, les 4 équations des faces sont : x+y+z=5, x-y-z=-5, x+y-z=-5 et x-y+z=5. les points M de la base vérifient donc l'équation : abs(x+y+z-5) + abs(x-y-z+5) + abs(x+y-z+5) + abs(x-y+z-5) = 2*5 Rac(2) * sin(Qi).
Si l'on positionne M en O, Q1 milieu de [AB], on peut voir que sin(Qi) = OS/SQi = 5 / SQi = 5 / Rac(OS²+OQi²) = 5/Rac(37.5). Hum ... il ne faut pas oublier de diviser à gauche par ... Rac(3) !
Ainsi l'équation devient : abs(x+y+z-5) + abs(x-y-z+5) + abs(x+y-z+5) + abs(x-y+z-5) = 50*Rac(6)/Rac(37.5) !
Que donne cette équation en général ? Qu'en pensez-vous ? ... Voir la suite !
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (02-08-2022 14:01:19)
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#3 01-04-2022 14:20:17
- Zebulor
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- Messages : 2 089
Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Hello !
Bernard : je viens de te lire vite fait . Tu sembles utiliser à un moment la propriété $\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {a+c}{b+d}$
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#4 01-04-2022 14:53:27
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
La suite !
On trouve une formule connue, surprise : le cuboctaèdre !
abs(x + y + z - 5) + abs(x - y - z + 5) + abs(x + y - z + 5) + abs(x - y + z - 5) = 5*2*5*sqrt(6)/sqrt(37.5)
On peut voir que le cuboctaèdre a bien pour face inférieure le carré ABCD ... vue par-dessous.
Ainsi, je pensais obtenir une équation de pyramide ! Mais j'avais oublié ce qu'il y avait en-dehors !
A plus, pour de nouvelles découvertes ...
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 11:03:45)
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#5 01-04-2022 20:51:42
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonsoir à tous !
En mai dernier je venais de découvrir des utilisations intéressantes des fonctions max et min, mais je n'avais pas encore pensé à les utiliser ici. Voici donc ce que ça donne !
Au-dessus : abs(x) + abs(y) + z = 5. Pyramide "infinie" sans base : les 4 pans "supérieurs" de l'octaèdre de sommet S, sans limite ...
Et dessous : max(abs(x) + abs(y) + z - 5, -z). Vues de "dessus", et de "dessous", pour voir la base ABCD ! On a donc bien la pyramide de base ABCD et de sommet S !
Dernière modification par Bernard-maths (02-04-2022 11:28:06)
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#6 02-04-2022 11:05:13
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonsoir à tous ! (hier soir 20h + !)
Si on veut généraliser à une base polygonale régulière de n côtés, donnant une pyramide régulière, on va considérer un cercle de centre O(0,0,0) et de rayon r > 0, le 1er point A(r,0,0), les suivants B(r cos(360°/n),r sin(360°/n),0), C etc ... avec A = A1, B = A2, C = A3, alors Ai(r cos(i*360°/n), r sin(i*360°/n),0) ..., et le sommet S(0,0,h), avec h > 0. Tout ça pour n >= 3 !
On doit trouver les équations des n plans/faces latérales de la pyramide ... donc un vecteur normal par exemple ...
Si Ii est le milieu de [AiAi+1], alors un vecteur normal au plan(SAiAi+1) est le vecteur(ONi), où Ni est la projection de O sur [SIi] ...
Ouf ! Il est tard, demain, 21h et quelques ... un calculateur charitable me donnera la formule d'un vecteur normal à chacun des n plans ... ???
Bernard-maths
Bonjour ! Je ne vois rien venir ! Je vais donc continuer mes calculs. La nuit portant conseil, j'ai une réponse ... en modifiant le point Ni !
Sur cette figure, n=3, à gauche la vue de dessus et à droite la vue en 3D. I est le milieu de [AB]. Pas d'indice i, on les mettra après, en généralisant ...(OI) et (SI) sont perpendiculaires à (AB), un vecteur normal au plan (SAB) sera contenu dans le plan (SOI) ...
Si on trace la perpendiculaire à (SI) issue de O, et la parallèle à (z'z) passant par I, ces 2 droites sont dans le plan (SOI), et se coupent en un point N ! Traçons les 3 vecteurs (OI), (SI) et (ON), sur la vue de dessus, on vérifie bien qu'ils sont "superposés en projection", et qu'ils ont donc les mêmes coordonnées en x et y, celles du point I !
On peut poser I = (p',q',0), alors vect(SI) = (p',q',-h), vect(ON) = (p',q',r'), où r' est à trouver ... (avec I = (p',q',0) par "abus de langage").
Mais vect(ON) orthogonal à vect(SI), donc leur produit scalaire est nul, ce qui se traduit par : p'² + q'² - r'h = 0, soit r' = (p'²+q'²)/h = OI²/h !
Ce qui donne N = (p',q',(p'²+q'²)/h) = vect(ON). Reste à le rendre unitaire ... ? On verra ...
Maintenant que nous avons identifié un vecteur normal au plan d'une face de la pyramide, il reste à établir les relations générales pour chaque plan, en fonction de l'indice "i" de la face concernée ...
Ce que nous avons vu était pour N=N1, donc pour i = 1. Ii étant le milieu de [AiAi+1], l'angle associé est (AOIi) = 180°/n + (i-1)*360°/n. Tous les segments [OIi] sont isométriques, de longueur OI = r*cos(180°/n), (r rayon du cercle de départ). Les coordonnées des points Ii et des vect(OIi) sont donc (p'i,q'i,0), avec p'i = r*cos(AOIi) et q'i = r*cos(AOIi)*sin(AOIi).
Pour les points Ni, on rajoutera que r'i = r' = (p'²+q'²)/h !
L'équation du plan (pi) = (SAiAi+1) est donc de la forme : p'i x + q'i y + r'i z = ki, et finalement :
(pi) : [r*cos(AOIi)] x + [r*cos(AOIi)*sin(AOIi)] y + [(p'²+q'²)/h] z = (p'²+q'²) = cte pour tout i.
... ki = (p'²+q'²) pour passer par le (même) sommet S(0,0,h) !
Erreurs à corriger ! Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (03-08-2022 17:49:00)
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#7 03-04-2022 09:53:38
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous !
On va regarder ce que ça donne pour une pyramide en tétraèdre régulier ! La base est donc un triangle équilatéral ABC, avec A(r,0,0), B(-r/2, r Rac(3)/2,0) et C(-r/2, -r Rac(3)/2,0). Le sommet en est S(0,0,h), avec h = r Rac(2). Reprenons l'équation générale d'un plan (pi) : [r*cos(AOIi)] x + [r*sin(AOIi)] y + [(p'²+q'²)/h] z = (p'²+q'²).
Erreurs à corriger ...
En attendant on peut trouver les 3 équations des 3 plans.
(p1) : x + y sqrt(3) + z sqrt(2) / 2 = r, (p2) : -2 x + z sqrt(2) / 2 = r, et (p3) : x - y sqrt(3) + z sqrt(2) / 2 = r
Dernière modification par Bernard-maths (04-08-2022 07:47:30)
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#8 31-07-2022 16:59:37
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous ! Me revoilà ...
Voici ce que donne le tétraèdre ...
L'image donnée par Maple, et une vue explicative de GeoGebra, où l'on voit le tétraèdre ABCS de départ, avec son symétrique SA'B'C'.
L'mage, elle, donne un anti-prisme d'ordre 3, on y voit en bas et en haut, la base ABC et sa symétrique A'B'C'. Mais reliées par 6 triangles latéraux !
Ah oui, l'équation :
abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2)/2 - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2)/2 - r) = (3*r*sqrt(17))/4
La suite plus tard, avec des bases variées ...
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (31-07-2022 19:08:14)
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#9 02-08-2022 17:39:45
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous !
Quelques remarques sur ce qu'on vient de voir ! Nous sommes partis d'un tétraèdre régulier , avec r = 5 et $h = OS = r \sqrt{2} \approx 7.071$.
La formule utilisée nous a donné un anti prisme d'ordre 3 ... MAIS celui-ci comporte en tout 8 faces, c'est un octaèdre ! Irrégulier (hélas ?).
Peut-on le "régulariser" ? En un bel octaèdre à 8 faces équilatérales ?
Eh bien oui, en prenant $h = \dfrac{r\sqrt{2}} {2} \approx 3.5355.$
A gauche le résultat "posé" sur la face ABC de centre O. A droite en le tournant un peu, on "peut voir" que les 3 diagonales sont orthogonales entre-elles ...
VOILA donc le vrai 1er solide de Platon que j'obtiens en fouillant une pyramide !
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (03-08-2022 08:44:10)
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#10 03-08-2022 10:38:44
- Bernard-maths
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Re : Les solides de Platon (?), en fouillant les pyramides !?
Bonjour à tous !
Merci au mi-stérieux adaptateur de formules Latex ... Voici ce que donne Maple pour l'octaèdre :
abs(x + y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) + abs(-2*x + z*sqrt(2) - r) + abs(x - y*sqrt(3) + z*sqrt(2) - r) = (3*r*sqrt(17))/4
B-m
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