Forum de mathématiques - Bibm@th.net

taz64

Membre

Inscription : 03-03-2008

Messages : 3

Problème sur un développement limité [Résolu]

Bonjour,
je ne suis pas suffisamment doué pour savoir si le développement limité suivant est correct ou non :

[tex]1+2x+3x^2+4x^3+...+nx^{n-1}={1\over {(1-x)^2}}[/tex]

Merci de me confirmer si c'est correct ou non.
Je ne suis pas contre une explication.

Yann

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Problème sur un développement limité [Résolu]

Bonsoir,
Ok, c'est bon à un petit terme près, car l'égalité que tu viens d'écrire est fausse (sauf pour x=0).
Comment as-tu obtenu ce développement ?
As-tu essayé la division euclidienne ?
A+

taz64

Membre

Inscription : 03-03-2008

Messages : 3

Re : Problème sur un développement limité [Résolu]

En fait, je suis en chimie et là j'écris un rapport où à un moment cette simplification est utilisée dans un calcul (c'est un calcul d'une constante d'équilibre).
Et comme j'aime bien comprendre, j'ai essayé de la retrouvée mais sans succés. D'où mon post...

Voilà ce que j'ai et ce que je suis capable de retrouver aussi :) :

[tex][A_0]=[A](1+2k_a[A]+3k_a^2[A]^2+4k_a^3[A]^3+...+nk_a^{n-1}[A]^{n-1})[/tex]

ensuite ça donne ça, mais déjà je commence à ne pas suivre (je n'arrive pas trop à savoir si c'est une division euclidienne ça)...
[tex][A_0]=[A](1+k_a[A]+k_a[A]^2+k_a[A]^3+...+k_a[A]^{n-1})+k_a[A]^2(1+k_a[A]+k_a^2[A]^2+...+k_a^{n-1}[A]^{n-1})+k_a^2[A]^3(1+k_a[A]+k_a^2[A]^2+...+k_a^{n-1}[A]^{n-1})+...[/tex]

Et après :
[tex][A_0]= \frac {[A]}{(1-k_a[A])^2}[/tex]

Donc, j'ai pas tout suivi dans le cheminement du calcul...
Peut être qu'il y a une erreur ?

Merci de ton aide

JJ

Membre

Inscription : 04-06-2007

Messages : 110

Re : Problème sur un développement limité [Résolu]

Bonjour taz64

Ainsi que John l'a dit, ton calcul est faux.
Remarque que ta série est la dérivée de la série:
1+x+x²+...+(x^n)
Il est plus simple de calculer cette série géométrique et de la dériver ensuite.

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Problème sur un développement limité [Résolu]

Bonjour,
En fait, on utilise une relation connue (?) pour x différent de 1 :
1 + x + x² + ... + x^n = [1 - x^(n+1)]/(1 - x)
facile à retrouver en développant (1 + x + x² + ... + x^n)(1 - x) ou en divisant 1 par (1-x) lorsqu'on sait faire une division euclidienne.
Cette relation donne aussi le développement limité de 1/(1-x) au voisinage de x=0 (je suppose que tes concentrations sont très faibles). Il s'écrit :
1/(1-x) = 1 + x + x² + ... + x^n + epsilon(n)
où ce dernier terme est infiniment petit d'ordre supérieur à x^n (complètement occulté dans ton pb.).
Pour retrouver ta relation (avec A=1 et ko = x), on part de :
1 + 2.x + 3.x² + ... + n.x^n + ...
égale à :
[1 + x + x² + ... + x^n + ... ]
+
[x + x² + ... + x^n + ... ]
+
[x² + ... + x^n + ... ]
+
...
égale à (en factorisant par ligne) :
1.[1 + x + x² + ... + x^n + ... ]
+
x.[1 + x + x² + ... + x^(n-1) + ... ]
+
x².[1 + x + x² + ... + x^(n-2) + ... ]
+
...
égale à (en factorisant en colonne) :
(1 + x + x² + ... ).[1 + x + x² + ... + x^n + ... ]
ou encore égale à :
[1 + x + x² + ... + x^n + ... ]² CQFD
Tu constates que ces égalités sont vraies s'il y a "+ ..." dans chaque facteur.

Attention, dans ta 2ème ligne de calcul, les puissances de ko sont passées à la trappe !
A+

Addendum
Bien vu JJ, là je suis grillé !!!

NB : Pour galdinx et si je puis me permettre, je propose le rang de "Membre fiable" pour JJ.

Dernière modification par john (04-03-2008 09:03:04)

taz64

Membre

Inscription : 03-03-2008

Messages : 3

Re : Problème sur un développement limité [Résolu]

Merci beaucoup pour votre aide (surtout john),

J'ai compris !

Et donc, il y a bien une erreur dans le rapport précédent qui m'empêchait de comprendre facilement...

yann