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sacha

Invité

intégrale à paramètre

Bonjour, quelqu'un pourrai t’il m'expliquer ce passage d'exercice en détail svp ?
              +∞
F′(x)=Re(∫exp(ix−1)*t*dt)
             0e(ix−1)tdt)
       =Re(1/(1−ix))
       =1(1+x^2).

Roro

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Re : intégrale à paramètre

Bonjour,

Ton message est illisible. Il faut que tu utilises la Latex pour écrire ces formules...

Roro.

sacha

Invité

Re : intégrale à paramètre

\begin{eqnarray*}
F'(x)&=&\Re e\left(\int_0^{+\infty}e^{(ix-1)t}dt\right)\\
&=&\Re e\left(\frac1{1-ix}\right)\\
&=&\frac 1{1+x^2}.
\end{eqnarray*}

Voilà ce que je ne comprend pas. pourriez vous m'aider en me donnant le détail entre l'étape 1 et 2 ?
Je comprend la 3e.

Roro

Membre expert

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Re : intégrale à paramètre

Bonsoir,

Tout dépend de ce que tu connais sur les fonctions de la variable complexe. J'imagine que ce que tu notes $x$ est un nombre réel !

Si tu sais qu'une primitive (par rapport à la variable $t$) de $\mathrm e^{(ix-1)t}$ c'est $\displaystyle \frac{1}{ix-1} \mathrm e^{(ix-1)t}$ alors c'est relativement simple. Si tu ne le sais pas, tu peux t'en convaincre rapidement en vérifiant via les parties réelles et imaginaires que la dérivée de $\displaystyle \frac{1}{ix-1} \mathrm e^{(ix-1)t}$ est bien $\mathrm e^{(ix-1)t}$.

Ensuite c'est une question d'intégrale indéfinie : $\displaystyle \int_0^{+\infty} \mathrm e^{(ix-1)t} \, dt = \lim_{M\to +\infty} \int_0^M \mathrm e^{(ix-1)t} \, dt = \lim_{M\to +\infty} \Big[ \frac{1}{ix-1} \mathrm e^{(ix-1)t} \Big]_0^M$.

Roro.

Dernière modification par Roro (13-05-2021 20:20:41)

sacha

Invité

Re : intégrale à paramètre

Merci pour votre temps, j'ai finis par comprendre.