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pentium mix

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connexe par arcs

Bonjour s'il vous plaît comment monter que l'adhérence du graphe G(f) de la fonction f(x)=cos(1/x) défini sur ]0,1] n'est pas connexe par arcs
G(f)={ (x,f(x)) x€]0,1]}
J'ai essayer e le faire par l'absurde c'est a dire j'ai supposer a(G(x)) connexe par arc  donc deux points quelconque de a(G(f)) peuvent être relier par un chemin
Les points x=(0,0) et y=(1,cos1) sont dans a(G(f))
J'ai considéré g:[0,1]-->a(G(f)) une application continue tel que g(0)=x et g(1)=y
Je ne sais pas comment continuer pour avoir une absurdité

Merci d'avance

bridgslam

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Re : connexe par arcs

Bonjour,

Quelle est déjà cette adhérence ? Le graphe ( forcément incomplet )  de G peut aider... avec une approche intuitive.

L'adhérence ( ici dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] ) de G est l'ensemble des points de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dont la distance à G est nulle.
Si tu exprimes cette adhérence tu as pratiquement fait la moitié du boulot.

Ensuite en prenant deux points particuliers de cette adhérence, montrer qu'un  un arc (continu) quelconque les joignant sort forcément de cette adhérence.

Alain

pentium mix

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Re : connexe par arcs

Bonjour,

Quelle est déjà cette adhérence ? Le graphe ( forcément incomplet )  de G peut aider... avec une approche intuitive.

L'adhérence ( ici dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex] ) de G est l'ensemble des points de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dont la distance à G est nulle.
Si tu exprimes cette adhérence tu as pratiquement fait la moitié du boulot.

Ensuite en prenant deux points particuliers de cette adhérence, montrer qu'un  un arc (continu) quelconque les joignant sort forcément de cette adhérence.

Alain

a(G(f))=G(f) U {(0;y) y€[-1,1]}

Fred

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Re : connexe par arcs

Salut,

  Je te propose de commencer par considérer $A=\{t\in [0,1]: \ g(t)=(0,...)\}$ et de poser $t_0=\sup A$.
Alors :
1. $t_0\in A$.
2. Tu écris $g(t)=(x(t),y(t))$. Quand $t$ tend vers $t_0$, $x(t)$ tend vers $0$ (par valeur supérieure). Par le théorème des valeurs intermédiaires, tu vas pouvoir trouver $t_n$ tel que $x(t_n)=1/2n\pi$ et $s_n$ tel que $x(s_n)=1/(2n\pi+\pi)$.
Que valent $y(t_n)$ et $y(s_n)$?
3. Tu devrais pouvoir conclure.

F.

pentium mix

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Re : connexe par arcs

Par exemple pour la deuxième partie de la preuve  ( c'est une idée, il y a sans doute plein d'autres possibilités ),
en prenant le point origine et un autre sur  [tex]G \cap \{ (x , 0) \} [/tex], à savoir entre O et un point [tex]M_0( x_0, 0)[/tex]  du graphe sur l'axe des x,  essaie de montrer qu'un chemin continu ne peut les joindre qu'en sortant de l'adhérence de G car:

Alors le chemin ( supposé continu , s'il existe ) passant par O doit aussi avoir sa projection sur Oy continue en O ( c'est un résultat connu sur les projections) , donc s'il est inclus dans  G (pour sa portion x > 0 par exemple si on a pris [tex]x_0  positif [/tex] , la projection sur Oy de la fonction serait donc continue en 0.

Ce n'est pas le cas pour une raison triviale que je te laisse deviner.

Alain

Est ce parce que f n'est pas prolongeable par continuité ???

pentium mix

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Re : connexe par arcs

Salut,

  Je te propose de commencer par considérer $A=\{t\in [0,1]: \ g(t)=(0,...)\}$ et de poser $t_0=\sup A$.
Alors :
1. $t_0\in A$.
2. Tu écris $g(t)=(x(t),y(t))$. Quand $t$ tend vers $t_0$, $x(t)$ tend vers $0$ (par valeur supérieure). Par le théorème des valeurs intermédiaires, tu vas pouvoir trouver $t_n$ tel que $x(t_n)=1/2n\pi$ et $s_n$ tel que $x(s_n)=1/(2n\pi+\pi)$.
Que valent $y(t_n)$ et $y(s_n)$?
3. Tu devrais pouvoir conclure.

F.

Merci infiniment
J'arrive a voir d'où dois venir l'absurdité
Puisque y est une fonction continue, les suites (y(sn)) et (y(tn)) devrais avoir même limite (car (sn)  et (tn) ont même limite)
Ce qui n'est pas le cas

Merci

pentium mix

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Re : connexe par arcs

A mon avis l'adhérence est [tex]G \cup \{ (0,y) , -1 \leq y  \leq 1 \} [/tex] , tu dois le vérifier...

Ensuite remarque, pour fixer les idées,  qu'il est impossible d'avoir un arc passant par O et le point [tex]( 2/\pi, 0)[/tex] de G, qui soit ( sauf O  évidemment qui n'appartient pas à G) inclus dans G , en faisant intervenir la continuité de l'arc  en O ( en fait avec la projection c'est immédiat comme dit dans le message précédent , la fonction y de G devrait avoir pour limite 0 en 0, .... )

Alain

D'accord
Merci

idider meryem

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Re : connexe par arcs

please comment on peut montrer que si A est connexe implique adherence de A est connexe

Abdellah Kahlaoui

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Re : connexe par arcs

Je pense que comme A est inclu dans l'adherence de A et comme A est connexe alors son adherence est aussi connexe ! (pas sûr)

Gui82

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Re : connexe par arcs

Bonjour,

Une partie B est connexe ssi toute application continue [tex]g:B\longrightarrow\{0,1\}[/tex] est constante.

Soit [tex]f:\bar{A}\longrightarrow\{0,1\}[/tex] continue. A étant connexe, [tex]f_{|A}[/tex] est constante (par exemple 0).
On veut montrer que [tex]f[/tex] est constante sur [tex]\bar{A}[/tex] :
Soit [tex]x\in \bar{A}[/tex]. [tex]\exists (x_n)_{n\in \mathbb{N}}\subset A[/tex] telle que [tex]x_n \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow}x[/tex]
Par continuité de [tex]f[/tex], [tex]f(x_n) \underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} f(x)[/tex] et [tex]f(x_n)=0\,\forall n \in \mathbb{N}[/tex] (choix fait ci-dessus). Donc [tex]f(x)=0[/tex], ceci [tex]\forall x \in \bar{A}[/tex]
[tex]f[/tex] est donc constante sur [tex]\bar{A}[/tex], donc [tex]\bar{A}[/tex] est connexe.

bridgslam

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Re : connexe par arcs

Bonjour,

Selon l'espace topologique dans lequel on travaille, il n'est pas toujours garanti d'avoir une telle suite ( convergence séquentielle...).
Il vaut mieux écrire que l'image de l'adhérence est incluse dans l'adhérence de l'image, et la conclusion est directe selon les hypothèses faites.

▼preuve dans un espace topologique quelconque

Soit f continue, A une partie de l'espace topologique de départ.

$f^{-1} ( Adh(  f(A) ) $ est fermé comme image réciproque d'un fermé, par ailleurs $f(A) \subset Adh( f(A))$ donc l'image réciproque considérée contient A. Comme fermé contenant A, il contient l'adhérence de A.
Le résultat $  Adh(A) \subset f^{-1} ( Adh(  f(A) )  $ est une autre écriture pour ce qu'on voulait montrer

A.

Dernière modification par bridgslam (21-11-2022 10:15:20)