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#1 28-04-2021 21:25:31
- Jane
- Membre
- Inscription : 23-04-2020
- Messages : 17
Formule de Taylor avec reste intégral et exponentielle
Bonjour,
Je bloque sur une question d'un exercice sur les formules de Taylor, qui est la suivante :
Donner un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à 3 tel que, pour tout x de [0,1], $|e^x-P(x)| \leq \frac{e-1}{n!}$.
J'ai écris la formule de Taylor avec reste intégral en 0 à l'ordre 3 pour l'exponentielle (c'est ce qui m'étais demandé à la question précédente) et j'ai que $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\int_0^x\frac{(x-t)^3}{6}e^tdt$ mais après de nombreuses manipulation de la formule, je ne vois pas comment obtenir la majoration demandé.
Merci d'avance pour toutes les pistes qui me seront apportées.
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#2 28-04-2021 21:30:55
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : Formule de Taylor avec reste intégral et exponentielle
Bonjour,
Très clairement, tu dois majorer l'intégrale. La première chose que tu peux faire, c'est de dire que,
pour tout $x\in[0,1]$ et tout $t\in[0,x]$, on a $0\leq (x-t)^3\leq x^3\leq 1$.
Ainsi, $0\leq \int_0^x \frac{x-t)^3}{6}e^t dt\leq \int_0^x \frac{e^t}{6}dt.$$
Je te laisse continuer....
F.
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#3 28-04-2021 21:40:32
- Jane
- Membre
- Inscription : 23-04-2020
- Messages : 17
Re : Formule de Taylor avec reste intégral et exponentielle
Merci pour cette indication !
En utilisant cette majoration je trouve $|e^x-P(x)| \leq |\frac{e^x-1}{3!}| \leq \frac{e-1}{3!}$ avec $P(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$, est-ce bien cela ?
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#4 28-04-2021 21:57:11
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : Formule de Taylor avec reste intégral et exponentielle
Bonsoir,
petite incursion..
@Jane : j'étais parti sur la même idée pour obtenir le même résultat que toi puisque $Sup_{x\in[0,1]}|\frac{e^x-1}{3!}|$ est obtenu pour $x=1$ et vaut bien $\frac{e-1}{3!}$
Dernière modification par Zebulor (28-04-2021 21:58:30)
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