Forum de mathématiques - Bibm@th.net

gaetan1278

Invité

Raisonnement par récurrence

Bonjour, je suis actuellement en première et comme j'aime beaucoup m'amuser je fais quelques exercices. Je suis actuellement sur un exercice de raisonnement par récurrence ou je dois trouver une généralisation et la démontrer. Je n'ai jamais travaillé sur une démonstration avec un raisonnement par récurrence d'une formule sur une fonction itérée. Je serait heureux de savoir si une démonstration de cette façon serait suffisante. Merci beaucoup pour vos réponses. L'exercice est le suivant.

\begin{align*} \text{Comme :} f(x)&=\cfrac{x}{\sqrt{1+cx^2}}\\ f(f(x))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+cf(x)^2}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+2cx^2}}\\ \text{alors :}   f(f(f(x)))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+2cf(x)^2}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+3cx^2}}\\
\text{on en déduit : } f^n(x) &= \cfrac{x}{\sqrt{1+ncx^2}}
\end{align*}
On cherche à démontrer par récurrence de la propriété suivante:
$P_n : f^n(x) = \cfrac{x}{1+ncx^2}$

Initialisation:
Montrons que la propriété $P_n$ est vérifiée au rang 1 :
D'une part pour $n=1$ on a $P_1: f^1(x)=\cfrac{x}{1+cx^2}=f(x)$
D'autre part selon l'énoncé $f(x)=\cfrac{x}{1+cx^2}$
Comme $f^1(x)=f(x)$ on en conclu que $P_n$ est vérifiée au rang $n=1$

Héréditée:
Supposons que pour un entier $n>0$, $P_n$ soit vérifiée
\begin{align*}
\text{On a alors :} f^n(x)&=\cfrac{x}{\sqrt{1+ncx^2}}\\
\text{donc : } f^n(f(x))&=\cfrac{f(x)}{\sqrt{1+ncf(x)^2}}=\cfrac{\cfrac{x}{1+cx^2}}{\sqrt{1+nc(\cfrac{x}{1+cx^2})^2}}\\
&=\cfrac{x}{\sqrt{(1+cx^2)(\cfrac{1+cx^2+ncx^2}{1+cx^2})}}=\cfrac{x}{\sqrt{1+(n+1)cx^2}}
\end{align*}
$\text{cela correspond a la propriété}:P_{n+1}\\P_n \text{est donc héréditaire}$

Conclusion:
$P_n$ étant héréditaire et vérifiée au rang $n=1$ on en déduit que la propriétée est donc vérifiée

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Raisonnement par récurrence

Bravo! Mais à vrai dire, si on veut être parfaitement rigoureux, il faut écrire la relation de récurrence sous la forme suivante :

$P_n : "\forall x\in\mathbb R, f^n(x)=\cdots "$

c'est-à-dire que je dis, dans l'hypothèse de récurrence, que la formule est vraie pour tout $x\in\mathbb R$ : en effet, tu appliques l'hypothèse de récurrence à $f(x)$, et non à $x$ tel que tu l'as écrit.

gaetan1278

Membre

Inscription : 25-04-2021

Messages : 1

Re : Raisonnement par récurrence

D'accord je vois, merci beaucoup, je comprends mieux.