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#1 25-04-2021 05:12:08
- Justicerabbi3
- Membre
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- Messages : 3
Nombre réels notion de densité
bonjour à tous
Je rencontre pour la première fois le rencontre cette notion.
Voici l’énoncée
Montrer que Q est dense dans Q
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#3 27-04-2021 17:38:29
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Nombre réels notion de densité
Bonjour,
Dans les questions de densité il y a plusieurs notions voisines ( qui peuvent aussi se recouper en considérant la topologie de l'ordre ):
- on parle d'ordre dense si entre deux éléments distincts il en existe un troisième, et l'ordre est alors total.
En ce sens , l'ordre sur [tex]\mathbb{Q}[/tex] est dense. Mais pas celui de [tex]\mathbb{Z}[/tex] par exemple
- la notion la plus courante est attachée à un espace topologique X.
Une partie Y de X est dense dans X ( on dit aussi partout dense ) si tout ouvert non vide de X contient un point de Y.
Intuitivement, cela signifie qu'il suffit de Y pour être au voisinage quelconque d'un élément quelconque de X.
Dans ce cas il est clair qu'un espace topologique X est forcément dense dans lui-même.
Plus intéressant est que [tex]\mathbb{Q}[/tex] est dense dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
En terme de distance, n'importe quel réel peut être approché autant qu'on veut par un rationnel ( et même un décimal ).
Il est de bon ton de rajouter le qualificatif "partout", pour signaler le fait qu'une partie peut-être dense sur un ouvert particulier seulement ( à l'opposé extrême il y a la notion de nulle part dense ).
La notion est plus claire aussi en utilisant la notion d'adhérence, qui simplifie pas mal de choses.
A est dense dans B si tout point de B est adhérent à un point de A ( yen a toujours au moins 1 pour le "coller").
Dans ce cas on considère juste les topologies induites, A n'est pas forcément inclus dans B: Ainsi Q est dense dans R\Q, pourtant disjoints...
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#4 27-04-2021 23:00:44
- Justicerabbi3
- Membre
- Inscription : 25-04-2021
- Messages : 3
Re : Nombre réels notion de densité
Bonsoir
Merci beaucoup, mais pourriez-vous. E le faire comprendre en langage mathématique s’il vous plaît
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#5 28-04-2021 07:38:26
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 912
Re : Nombre réels notion de densité
Bonjour,
La définition pour deux parties A et B d'un espace topologique X:
[tex]A \;est \;dense \;dans \; B \iff B \subseteq \overline{A} [/tex] ( l'adhérence de A étant "vue" dans X, c'est le plus petit fermé dans X contenant A).
Tout voisinage d'un élément quelconque b de B contient un élément de A, d'où mon expression imagée A "colle" à B.
Ta question initiale a alors une réponse évidente d'après cette définition ( qui utilise l'adhérence).
En effet si [tex]A = B = \mathbb{Q} [/tex] , l'adhérence de A est aussi celle de B , donc contient B, c'est une banalité.
Il se trouve que [tex] \overline{ \mathbb{Q} } = \mathbb{R}[/tex].
Tout ceci étant vu au sein de [tex] \mathbb{R}[/tex] et de sa topologie habituelle.
Si tu prends la question dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] c'est encore plus trivial.
En fait au lieu de considérer [tex]Adh_{\mathbb{R}} ( \mathbb{Q} ) [/tex] ( note bien la référence [tex]\mathbb{R}[/tex] en indice qui précise par rapport à quoi on considère l'adhérence ) , tu auras considéré [tex]Adh_{\mathbb{Q}} ( \mathbb{Q} ) [/tex] qui alors est forcément égale à [tex] \mathbb{Q}[/tex].
Il reste surprenant de voir demander des définitions sur un forum, 3 mots dans un moteur de recherche suffisent.
Le B.A. BA en math est tout de même de partir des définitions ( et des propositions basiques ), si telle définition ou telle proposition s'appuie sur une notion encore plus élémentaire, on remonte encore...
Dans cette démarche le web est ton ami et les choses s'assimilent mieux si la démarche est personnelle.
Alain
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