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Dragonite

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Intégralité en plus infini

Bonsoir,

Je cherche à démontrer que:

Pour [tex] t>0\:,a>0, i=1\: ou\: 2[/tex]
[tex] e^{-t}t^{a-1} |ln(t)|^i[/tex]

Cette expression est intégrable au voisinage de + infini

J’ai essayé de comparer avec la fonction 1/t^2 mais je n’arrive pas à prouver que le rapport tend vers 0

Merci d’avance

Zebulor

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Re : Intégralité en plus infini

Bonjour,
pour $t$ assez grand tu peux essayer de majorer le terme $ln(t)^i$ (la valeur absolue est alors superflue) de ta fonction que j'appelle $f(t)$, de sorte à obtenir un encadrement du style $0 \le t^2 f(t) \le e^{-t}t^{\beta}$ où tu peux expliciter ${\beta}$.
Tu peux alors conclure par théorème de croissances comparées de fonctions usuelles.

Dernière modification par Zebulor (23-04-2021 11:56:10)

Dragonite

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Re : Intégralité en plus infini

Si je majore le ln(t) par [tex]t[/tex] pour en déduire que [tex]f(t)< e^{-t}t^{a+2}[/tex]

Puis en justifiant que cette fonction majorante est intégrable car [tex]=o(1/t^2)[/tex] par exemple, est-ce correct?

Zebulor

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Re : Intégralité en plus infini

Re,
pour t assez grand; $ln(t)^i \lt t^i$, et en prenant la plus grande valeur de $i$ proposée, $(ln(t))^2 \lt t^2$, d'où $0<f(t)< e^{-t}t^{a+1}$
En en effet en $+\infty$, $e^{-t}t^{a+1}=o(\frac {1}{t^2})$ d où la convergence en $+\infty$ de l'intégrale
ps : ne pas oublier f positive..

Dernière modification par Zebulor (23-04-2021 22:08:30)