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izlia

Invité

Probabilité - loi de Student

Bonjour,

Alors voici la question :
Soit Z une loi normale contrée réduite et Y une loi khi-carré de degré de liberté r. Elles sont indépendantes.
On pose $X=\frac{\sqrt{r}Z}{\sqrt{Y}}$ et W=Y. Calculer la densité jointe du couple (X,Y).
Puis, donner la loi de X.

Tout d'abord, j'ai trouvé que la transformation inverse est donné par $(g(x,w),h(x,w))=(\frac{\sqrt{w}x}{\sqrt{r}},w)$.
Puis, je calcule la matrice jacobienne et je trouve que son déterminant est égal à $\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{r}}$.
Ensuite j'applique la formule suivante : $f_{X,W}=(f_{Z,Y}(g(x,w),h(x,w))*|det(Jac)|$
Je trouve $f_{X,W}=(f_{Z}(\frac{\sqrt{w}x}{\sqrt{r}})*f_{Y}(w)*|\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{r}}|$
Seulement, une fois les fonctions de densité remplacées, je n'arrive pas du tout à simplifier mon calcul.
De plus, j'ai essayé d'intégrer mon calcul précédent par w pour obtenir la densité de X mais j'arrive pas à calculer mon intégrale.

Merci d'aide pour votre réponse