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Reofly

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Equation différentielle du second ordre

Bonjour, je suis bloqué à un dm de maths sur les équations différentielles.
Je vous mets les questions et mes résultats:

1) Soit y'' - k^2*y = 0, où k est un réel.
a) Montrer que u(x) = exp(k*x) est solution --> réussi
b) On cherche les solutions sous la forme f(x) = g(x)*exp(k*x)
Montrer que f est solution de l'équation si et seulement si : g''(x) + 2kg'(x) = 0 --> réussi
c) En déduire g'(x) puis g(x) --> g'(x) = -g''(x)/2k . Est-ce vraiment ça ? Et pour g(x) je ne trouve pas.
d) Montrer que la solution générale de l'équation est de la forme: f(x) = A*exp(k*x) + B*exp(-k*x), où A et B sont des constantes réelles.
--> Pas réussi

Il y a une seconde partie application mais je ferai les recherches plus tard une fois que j'aurai déjà compris la première partie.

Merci de votre réponse.

Justedepassage

Invité

Re : Equation différentielle du second ordre

Bonjour, j'ai jeté un oeil à votre exercice. \\
c) Lorsqu'on demande d'en déduire g', je pense qu'il est mieux de faire ça: \\

 $g"(x) + 2kg'(x)= 0$ donc $g"(x) = -2kg'(x)$ alors on a $ \frac{g"(x)}{g'(x)} = -2k$ , $(k \in \mathbb{R})$  

Et là on a la forme $\frac{U'}{U}$, on connait cette primitive. On sait que si U est une fonction dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle K, alors la fonction $\frac{U'}{U}$ admet pour primitive sur K la fonction ln|U|.
Dans le cas de votre exercice, on pose que U=g'(x). On sait que f est au moins deux fois dérivable sur l'intervalle solution de l'équation diff et comme

 $f(x)=g(x)\exp(kx)$

, il est forcément le produit de deux fonctions au moins deux fois dérivable.
On obtient finalement :

 $ln|g'(x)| = -2kx + c, (k \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R})$ ; ensuite on utilise l'exponentiel, $g'(x) = \exp(-2kx+c) (k \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R})$ \\ Alors $g'(x) = \alpha\exp(-2kx), (\alpha \in \mathbb{R}).$

J'espère que ça va vous aidez, bon courage.

Roro

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Re : Equation différentielle du second ordre

Bonjour,

Je complète la réponse donnée par Justedepassage :

Montrer que f est solution de l'équation si et seulement si : g''(x) + 2kg'(x) = 0 --> réussi
c) En déduire g'(x) puis g(x) --> g'(x) = -g''(x)/2k . Est-ce vraiment ça ?

Il faut remarquer que $g'$ est solution de l'équation $y'+2ky=0$.
Il est très probable que tu aies déjà vu que les solutions de cette équation linéaire du premier ordre avait pour solutions :
$$g'(x) = C \mathrm e^{-2kx}$$
où $C$ est une constante réelle quelconque.

Tu en déduiras les solutions $g$ possibles en trouvant toutes les primitives de $g'$.

d) Montrer que la solution générale de l'équation est de la forme: f(x) = A*exp(k*x) + B*exp(-k*x), où A et B sont des constantes réelles.

Ici, il suffit de reprendre les questions précédentes : les solutions $f$ s'écrivent sous la forme $f(x) = g(x)\mathrm e^{-kx}$ (n'importe quelle fonction peut s'écrire sous cette forme !). D'après les questions précédentes, tu connais les expressions possibles pour $g$, et donc celles pour $f$...

Roro.

Dernière modification par Roro (03-04-2021 20:02:50)

Reofly

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Re : Equation différentielle du second ordre

Re-bonjour,
Merci beaucoup pour vos précieuses réponses.

Je me permet de vous faire un point sur mes résultats obtenus grâce à vous:

c)

g'(x) = Ce^-2kx. Résultat obtenu grâce à vos deux méthodes ;)
g(x) est donc la primitive de g'(x) tel que :

g(x) = -(Ce^-2kx)/2k + H (H est une constante réelle). On retrouve bien en dérivant g'(x) du dessus.

d) De ce fait, on sait que f(x) est solution de l'équation différentielle et f(x) = g(x)e^kx
En remplaçant, on obtient:

f(x) = (-(Ce^-2kx)/2k + H)*e^kx
f(x) = He^kx + (-Ce^-2kx)/2k)*e^kx
f(x) = He^kx + (-C/2k)*e^-kx

On retrouve bien la forme : f(x) = Ae^kx + Be^-kx où A = H et B = -C/2k

Je pense avoir trouvé et je vous en remercie.
J'ai une suite application à l'exercice que j'espère pouvoir réussir.
Merci à vous.

Roro

Membre expert

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Re : Equation différentielle du second ordre

Bonjour,

Ça me parait correct... bonne suite !

Roro.