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Dorian

Invité

Intégrabilité de f

Bonjour, j’ai un problème concernant cet exemple extrait du methodix analyse sur les méthodes d’intégrabilité :

https://ibb.co/pW7jDms

Lors de la majoration de l’intégrale, il utilise l’inégalité sin(u) >= (2/pi)u mais cette inégalité n’est valable que pour u dans [0,pi/2] mais ici u est dans [0,pi]. Est-ce juste ?

Merci d’avance pour vos réponses.

Roro

Membre expert

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Messages : 1 803

Re : Intégrabilité de f

Bonjour,

En effet, l'inégalité $\sin u \geq \frac{2}{\pi}u$ n'est pas vraie pour $u\in (\frac{\pi}{2},\pi)$...

Il faut s'en doute s'y prendre autrement !

Roro.

Black Jack

Membre

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Messages : 514

Re : Intégrabilité de f

Bonjour,

Je pense qu'il faut séparer les intervalles [0 ;Pi/2] et [Pi/2 ; Pi] pour la minorisation du sin²

avec sin²(u) >= 4/Pi² * u² sur [0 ; Pi/2]
et sin²(u) >= 4/Pi² * (Pi - u)² sur [Pi/2 ; Pi]

Un <= S(de 0 à Pi/2) du/((1 + (n*Pi)^4 * (4/Pi²)*u²) + S(de Pi/2 à Pi) du/((1 + Pi.n)^4 * 4.(1 - u/Pi)^2)

Un <= [arctan(2n²Pi*x) /(2n²*pi)](de 0 à Pi/2) + [- arctan(2n²Pi*(Pi-x)) /(2n²*pi)](de Pi/2 * Pi)

Un <= 1/(2n².Pi) * [arctan(2n²Pi*x)](de 0 à Pi/2) + [- arctan(2n²Pi*(Pi-x))](de Pi/2 * Pi)

Un <= 1/(2n².Pi) * (arctan(n²Pi²) + arctan(n²Pi²))

Un <= arctan(n²Pi²) /(n²*Pi)