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#26 23-03-2021 22:06:41
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : limite de suite ?
Re,
Si une suite est définie par une relation de la forme $x_{n+1}= g(x_n)$, et que cette suite converge vers $\ell$ alors $\ell$ est un point fixe de $g$ (il faut que $g$ soit continue en $\ell$).
C'est ce que j'utilise ici...
Si $u_0$ n'est pas dans $[0,1]$, je pense qu'il est facile de montrer que la suite diverge vers $-\infty$. Pour moi, il était clair qu'on ne s'intéressait qu'au cas $u_0\in ]0,1[$.
Roro.
Dernière modification par Roro (23-03-2021 22:15:39)
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#28 24-03-2021 07:45:26
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 352
Re : limite de suite ?
re,
ok pour le raisonnement clair et net. Un point m'échappe : "ces suites convergent donc vers un point fixe de $f\circ f$".
Pour le reste on est d'accord que ce point fixe est nécessairement $\frac {2}{3}$
C'est à cause de la formule de récurrence : $v_{n+1}=f\circ f(v_n)$.
F.
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#29 24-03-2021 11:25:50
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : limite de suite ?
re,
je viens de relire :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … tfixe.html.
L'ensemble E peut être le segment unité dans le cas présent..
Dernière modification par Zebulor (24-03-2021 11:27:48)
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#30 24-03-2021 21:17:54
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : limite de suite ?
Re,
Enfin, si vous trouvez une démonstration plus directe de la convergence, je suis preneur !
Roro.
Alors voilà ce que je propose, même si ce n 'est pas plus direct :
Soit la suite $(v_n)$ telle que pour tout $n$ entier : $v_n=\dfrac {u_{n+1}-\frac {2}{3}} {u_{n}-\frac {2}{3}}$
Par construction de la suite $(u_n)$ : $u_0=0.3$ et $u_{n+1}=3u_{n}(1-u_{n})$, on obtient :
(E) : $\dfrac {u_{n+1}-\frac {2}{3}} {u_{n}-\frac {2}{3}}=1-3u_{n} $.
Après mulitiplication membre à membre de la formule ci dessus il vient :
${u_{n}-\frac {2}{3}}=({u_{0}-\frac {2}{3}}) \prod_{i=0}^{n-1} (1-3u_{i}) $.
Or il se trouve que pour tout entier $p$, connaissant $u_{2p+1}$ en fonction de $u_{2p}$ :
$(1-3u_{2p})(1-3u_{2p+1})=-27u_{2p}^3+36u_{2p}^2-12u_{2p}+1$
Alors $ -1<(1-3u_{2p})(1-3u_{2p+1})<1$
$\Leftrightarrow -27u_{2p}^3+36u_{2p}^2-12u_{2p}+1<1$
$\Leftrightarrow -3(2-3u_{2p})^2u_{2p} <0$
$\Leftrightarrow 0<u_{2p}<\frac {2}{3}$ ou $\frac {2}{3}<u_{2p}<\beta$, où $\beta \gt 0.95$
Lorsque $u_{2p}=\frac {2}{3}$ c'est la suite constante.
En reprenant (E) il vient :
pour tout $j$ entier :
${u_{2j}-\frac {2}{3}}=({u_{0}-\frac {2}{3}}) \prod_{p=0 \atop i\in {2p}}^{p=j-1} (1-3u_{i})(1-3u_{i+1}) $.
Or d'après ce qui précède, il existe $-1<A<1$ tel que $A=Sup_{i \in [1;2j-2]} (1-3u_{i})(1-3u_{i+1})$
Finalement : ${u_{2j}-\frac {2}{3}}<A^{2j}(u_0-\frac {2}{3})$
Et comme $\lim\limits_{j \to \infty} A^{2j}=0$, il vient :
$\lim\limits_{j \to \infty} u_{2j}= \frac {2}{3}$
Dernière modification par Zebulor (24-03-2021 22:00:01)
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#31 24-03-2021 21:39:32
- Roro
- Membre expert
- Inscription : 07-10-2007
- Messages : 1 801
Re : limite de suite ?
Bonsoir,
Je n'ai pas encore eu le temps de regarder ce que Zebulor propose mais la conclusion suivante me semble erronée (j'imagine qu'il y a des valeurs absolues partout...) :
Finalement : ${u_{2j}-\frac {2}{3}}<A^{2j}(u_0-\frac {2}{3})$
Et comme $\lim\limits_{j \to \infty} A^{2j}=0$
Si c'était le cas, la suite convergerait de façon géométrique vers $2/3$ et ne serait pas si lente que ce qu'on observe !
Mais peut être que je me trompe.
Roro.
Dernière modification par Roro (24-03-2021 21:45:13)
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#34 24-03-2021 21:51:39
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 230
Re : limite de suite ?
J'ai modifié sans les valeujrs absolues.. mais que A puisse dépendre de $j$ je n'y avais pas pensé...Alors que c'est évident..
Je vais me reposer..
A moins d'obtenir une meilleure majorattion de $A$ mais ça semble coton..
A bientôt
Dernière modification par Zebulor (25-03-2021 07:15:00)
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